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Theorem ntrneix3

Description: The closure of the union of any pair is a subset of the union of closures if and only if the union of any pair belonging to the convergents of a point implies at least one of the pair belongs to the the convergents of that point. (Contributed by RP, 19-Jun-2021)

Ref Expression
Hypotheses ntrnei.o 
|- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f 
|- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r 
|- ( ph -> I F N )
Assertion ntrneix3 
|- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ntrnei.o 
 |-  O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
2 ntrnei.f 
 |-  F = ( ~P B O B )
3 ntrnei.r 
 |-  ( ph -> I F N )
4 dfss3 
 |-  ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) )
5 1 2 3 ntrneiiex 
 |-  ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
6 5 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
7 elmapi 
 |-  ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
8 6 7 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
9 1 2 3 ntrneibex 
 |-  ( ph -> B e. _V )
10 9 ad2antrr 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> B e. _V )
11 simplr 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s e. ~P B )
12 11 elpwid 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> s C_ B )
13 simpr 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> t e. ~P B )
14 13 elpwid 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> t C_ B )
15 12 14 unssd 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) C_ B )
16 10 15 sselpwd 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
17 8 16 ffvelcdmd 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( s u. t ) ) e. ~P B )
18 17 elpwid 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( s u. t ) ) C_ B )
19 ralss 
 |-  ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ B -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
20 18 19 syl 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) ) )
21 3 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> I F N )
22 simpr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> x e. B )
23 9 ad3antrrr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> B e. _V )
24 simpllr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s e. ~P B )
25 24 elpwid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> s C_ B )
26 simplr 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t e. ~P B )
27 26 elpwid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> t C_ B )
28 25 27 unssd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( s u. t ) C_ B )
29 23 28 sselpwd 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
30 1 2 21 22 29 ntrneiel 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) <-> ( s u. t ) e. ( N ` x ) ) )
31 elun 
 |-  ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) )
32 1 2 21 22 24 ntrneiel 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` s ) <-> s e. ( N ` x ) ) )
33 1 2 21 22 26 ntrneiel 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( I ` t ) <-> t e. ( N ` x ) ) )
34 32 33 orbi12d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` s ) \/ x e. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
35 31 34 bitrid 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
36 30 35 imbi12d 
 |-  ( ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) /\ x e. B ) -> ( ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
37 36 ralbidva 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. B ( x e. ( I ` ( s u. t ) ) -> x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
38 20 37 bitrd 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( A. x e. ( I ` ( s u. t ) ) x e. ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
39 4 38 bitrid 
 |-  ( ( ( ph /\ s e. ~P B ) /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
40 39 ralbidva 
 |-  ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
41 ralcom 
 |-  ( A. t e. ~P B A. x e. B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
42 40 41 bitrdi 
 |-  ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
43 42 ralbidva 
 |-  ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )
44 ralcom 
 |-  ( A. s e. ~P B A. x e. B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) )
45 43 44 bitrdi 
 |-  ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( I ` ( s u. t ) ) C_ ( ( I ` s ) u. ( I ` t ) ) <-> A. x e. B A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) e. ( N ` x ) -> ( s e. ( N ` x ) \/ t e. ( N ` x ) ) ) ) )