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Theorem omlspjN

Description: Contraction of a Sasaki projection. (Contributed by NM, 6-Dec-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses omlspj.b 
|- B = ( Base ` K )
omlspj.l 
|- .<_ = ( le ` K )
omlspj.j 
|- .\/ = ( join ` K )
omlspj.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
omlspj.o 
|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion omlspjN 
|- ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ./\ Y ) = X )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 omlspj.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 omlspj.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 omlspj.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 omlspj.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 omlspj.o 
 |-  ._|_ = ( oc ` K )
6 omllat 
 |-  ( K e. OML -> K e. Lat )
7 6 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> K e. Lat )
8 omlop 
 |-  ( K e. OML -> K e. OP )
9 8 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> K e. OP )
10 simp2r 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> Y e. B )
11 1 5 opoccl 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
12 9 10 11 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) e. B )
13 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` Y ) ./\ Y ) = ( Y ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
14 7 12 10 13 syl3anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( ._|_ ` Y ) ./\ Y ) = ( Y ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
15 eqid 
 |-  ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
16 1 5 4 15 opnoncon 
 |-  ( ( K e. OP /\ Y e. B ) -> ( Y ./\ ( ._|_ ` Y ) ) = ( 0. ` K ) )
17 9 10 16 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( Y ./\ ( ._|_ ` Y ) ) = ( 0. ` K ) )
18 14 17 eqtrd 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( ._|_ ` Y ) ./\ Y ) = ( 0. ` K ) )
19 18 oveq2d 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( ( ._|_ ` Y ) ./\ Y ) ) = ( X .\/ ( 0. ` K ) ) )
20 simp1 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> K e. OML )
21 simp2l 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
22 simp3 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> X .<_ Y )
23 eqid 
 |-  ( cm ` K ) = ( cm ` K )
24 1 23 cmtidN 
 |-  ( ( K e. OML /\ Y e. B ) -> Y ( cm ` K ) Y )
25 20 10 24 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> Y ( cm ` K ) Y )
26 1 5 23 cmt3N 
 |-  ( ( K e. OML /\ Y e. B /\ Y e. B ) -> ( Y ( cm ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( cm ` K ) Y ) )
27 20 10 10 26 syl3anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( Y ( cm ` K ) Y <-> ( ._|_ ` Y ) ( cm ` K ) Y ) )
28 25 27 mpbid 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ._|_ ` Y ) ( cm ` K ) Y )
29 1 2 3 4 23 omlmod1i2N 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ ( ._|_ ` Y ) e. B /\ Y e. B ) /\ ( X .<_ Y /\ ( ._|_ ` Y ) ( cm ` K ) Y ) ) -> ( X .\/ ( ( ._|_ ` Y ) ./\ Y ) ) = ( ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ./\ Y ) )
30 20 21 12 10 22 28 29 syl132anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( ( ._|_ ` Y ) ./\ Y ) ) = ( ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ./\ Y ) )
31 omlol 
 |-  ( K e. OML -> K e. OL )
32 31 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> K e. OL )
33 1 3 15 olj01 
 |-  ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( X .\/ ( 0. ` K ) ) = X )
34 32 21 33 syl2anc 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X .\/ ( 0. ` K ) ) = X )
35 19 30 34 3eqtr3d 
 |-  ( ( K e. OML /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( X .\/ ( ._|_ ` Y ) ) ./\ Y ) = X )