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Theorem pj1ghm

Description: The left projection function is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses pj1eu.a 
|- .+ = ( +g ` G )
pj1eu.s 
|- .(+) = ( LSSum ` G )
pj1eu.o 
|- .0. = ( 0g ` G )
pj1eu.z 
|- Z = ( Cntz ` G )
pj1eu.2 
|- ( ph -> T e. ( SubGrp ` G ) )
pj1eu.3 
|- ( ph -> U e. ( SubGrp ` G ) )
pj1eu.4 
|- ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
pj1eu.5 
|- ( ph -> T C_ ( Z ` U ) )
pj1f.p 
|- P = ( proj1 ` G )
Assertion pj1ghm 
|- ( ph -> ( T P U ) e. ( ( G |`s ( T .(+) U ) ) GrpHom G ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pj1eu.a 
 |-  .+ = ( +g ` G )
2 pj1eu.s 
 |-  .(+) = ( LSSum ` G )
3 pj1eu.o 
 |-  .0. = ( 0g ` G )
4 pj1eu.z 
 |-  Z = ( Cntz ` G )
5 pj1eu.2 
 |-  ( ph -> T e. ( SubGrp ` G ) )
6 pj1eu.3 
 |-  ( ph -> U e. ( SubGrp ` G ) )
7 pj1eu.4 
 |-  ( ph -> ( T i^i U ) = { .0. } )
8 pj1eu.5 
 |-  ( ph -> T C_ ( Z ` U ) )
9 pj1f.p 
 |-  P = ( proj1 ` G )
10 eqid 
 |-  ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) = ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) )
11 eqid 
 |-  ( Base ` G ) = ( Base ` G )
12 ovex 
 |-  ( T .(+) U ) e. _V
13 eqid 
 |-  ( G |`s ( T .(+) U ) ) = ( G |`s ( T .(+) U ) )
14 13 1 ressplusg 
 |-  ( ( T .(+) U ) e. _V -> .+ = ( +g ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) )
15 12 14 ax-mp 
 |-  .+ = ( +g ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) )
16 2 4 lsmsubg 
 |-  ( ( T e. ( SubGrp ` G ) /\ U e. ( SubGrp ` G ) /\ T C_ ( Z ` U ) ) -> ( T .(+) U ) e. ( SubGrp ` G ) )
17 5 6 8 16 syl3anc 
 |-  ( ph -> ( T .(+) U ) e. ( SubGrp ` G ) )
18 13 subggrp 
 |-  ( ( T .(+) U ) e. ( SubGrp ` G ) -> ( G |`s ( T .(+) U ) ) e. Grp )
19 17 18 syl 
 |-  ( ph -> ( G |`s ( T .(+) U ) ) e. Grp )
20 subgrcl 
 |-  ( T e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
21 5 20 syl 
 |-  ( ph -> G e. Grp )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pj1f 
 |-  ( ph -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T )
23 11 subgss 
 |-  ( T e. ( SubGrp ` G ) -> T C_ ( Base ` G ) )
24 5 23 syl 
 |-  ( ph -> T C_ ( Base ` G ) )
25 22 24 fssd 
 |-  ( ph -> ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> ( Base ` G ) )
26 13 subgbas 
 |-  ( ( T .(+) U ) e. ( SubGrp ` G ) -> ( T .(+) U ) = ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) )
27 17 26 syl 
 |-  ( ph -> ( T .(+) U ) = ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) )
28 27 feq2d 
 |-  ( ph -> ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> ( Base ` G ) <-> ( T P U ) : ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) --> ( Base ` G ) ) )
29 25 28 mpbid 
 |-  ( ph -> ( T P U ) : ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) --> ( Base ` G ) )
30 27 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( x e. ( T .(+) U ) <-> x e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) ) )
31 27 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( y e. ( T .(+) U ) <-> y e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) ) )
32 30 31 anbi12d 
 |-  ( ph -> ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) <-> ( x e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) ) ) )
33 32 biimpar 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) ) ) -> ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) )
34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pj1id 
 |-  ( ( ph /\ x e. ( T .(+) U ) ) -> x = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) )
35 34 adantrr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> x = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) )
36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pj1id 
 |-  ( ( ph /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> y = ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) )
37 36 adantrl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> y = ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) )
38 35 37 oveq12d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) .+ ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
39 5 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> T e. ( SubGrp ` G ) )
40 grpmnd 
 |-  ( G e. Grp -> G e. Mnd )
41 39 20 40 3syl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> G e. Mnd )
42 39 23 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> T C_ ( Base ` G ) )
43 simpl 
 |-  ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> x e. ( T .(+) U ) )
44 ffvelcdm 
 |-  ( ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T /\ x e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` x ) e. T )
45 22 43 44 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` x ) e. T )
46 42 45 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` x ) e. ( Base ` G ) )
47 simpr 
 |-  ( ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> y e. ( T .(+) U ) )
48 ffvelcdm 
 |-  ( ( ( T P U ) : ( T .(+) U ) --> T /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. T )
49 22 47 48 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. T )
50 42 49 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
51 6 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> U e. ( SubGrp ` G ) )
52 11 subgss 
 |-  ( U e. ( SubGrp ` G ) -> U C_ ( Base ` G ) )
53 51 52 syl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> U C_ ( Base ` G ) )
54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pj2f 
 |-  ( ph -> ( U P T ) : ( T .(+) U ) --> U )
55 ffvelcdm 
 |-  ( ( ( U P T ) : ( T .(+) U ) --> U /\ x e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( U P T ) ` x ) e. U )
56 54 43 55 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` x ) e. U )
57 53 56 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` x ) e. ( Base ` G ) )
58 ffvelcdm 
 |-  ( ( ( U P T ) : ( T .(+) U ) --> U /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( ( U P T ) ` y ) e. U )
59 54 47 58 syl2an 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` y ) e. U )
60 53 59 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( U P T ) ` y ) e. ( Base ` G ) )
61 8 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> T C_ ( Z ` U ) )
62 61 49 sseldd 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` y ) e. ( Z ` U ) )
63 1 4 cntzi 
 |-  ( ( ( ( T P U ) ` y ) e. ( Z ` U ) /\ ( ( U P T ) ` x ) e. U ) -> ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
64 62 56 63 syl2anc 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
65 11 1 41 46 50 57 60 64 mnd4g 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) .+ ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` x ) ) .+ ( ( ( T P U ) ` y ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
66 38 65 eqtr4d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) .+ ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
67 7 adantr 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( T i^i U ) = { .0. } )
68 1 subgcl 
 |-  ( ( ( T .(+) U ) e. ( SubGrp ` G ) /\ x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) -> ( x .+ y ) e. ( T .(+) U ) )
69 68 3expb 
 |-  ( ( ( T .(+) U ) e. ( SubGrp ` G ) /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( T .(+) U ) )
70 17 69 sylan 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( x .+ y ) e. ( T .(+) U ) )
71 1 subgcl 
 |-  ( ( T e. ( SubGrp ` G ) /\ ( ( T P U ) ` x ) e. T /\ ( ( T P U ) ` y ) e. T ) -> ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) e. T )
72 39 45 49 71 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) e. T )
73 1 subgcl 
 |-  ( ( U e. ( SubGrp ` G ) /\ ( ( U P T ) ` x ) e. U /\ ( ( U P T ) ` y ) e. U ) -> ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) e. U )
74 51 56 59 73 syl3anc 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) e. U )
75 1 2 3 4 39 51 67 61 9 70 72 74 pj1eq 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( x .+ y ) = ( ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) .+ ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) <-> ( ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) /\ ( ( U P T ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) ) )
76 66 75 mpbid 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) /\ ( ( U P T ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( U P T ) ` x ) .+ ( ( U P T ) ` y ) ) ) )
77 76 simpld 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( T .(+) U ) /\ y e. ( T .(+) U ) ) ) -> ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
78 33 77 syldan 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) /\ y e. ( Base ` ( G |`s ( T .(+) U ) ) ) ) ) -> ( ( T P U ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( T P U ) ` x ) .+ ( ( T P U ) ` y ) ) )
79 10 11 15 1 19 21 29 78 isghmd 
 |-  ( ph -> ( T P U ) e. ( ( G |`s ( T .(+) U ) ) GrpHom G ) )