Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
prjsprel.1 |
|- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. B /\ y e. B ) /\ E. l e. K x = ( l .x. y ) ) } |
2 |
|
prjspertr.b |
|- B = ( ( Base ` V ) \ { ( 0g ` V ) } ) |
3 |
|
prjspertr.s |
|- S = ( Scalar ` V ) |
4 |
|
prjspertr.x |
|- .x. = ( .s ` V ) |
5 |
|
prjspertr.k |
|- K = ( Base ` S ) |
6 |
1
|
prjsprel |
|- ( X .~ Y <-> ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ E. m e. K X = ( m .x. Y ) ) ) |
7 |
6
|
simprbi |
|- ( X .~ Y -> E. m e. K X = ( m .x. Y ) ) |
8 |
7
|
ad2antrl |
|- ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) -> E. m e. K X = ( m .x. Y ) ) |
9 |
|
simplrr |
|- ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) -> Y .~ Z ) |
10 |
1
|
prjsprel |
|- ( Y .~ Z <-> ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ E. n e. K Y = ( n .x. Z ) ) ) |
11 |
10
|
simprbi |
|- ( Y .~ Z -> E. n e. K Y = ( n .x. Z ) ) |
12 |
9 11
|
syl |
|- ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) -> E. n e. K Y = ( n .x. Z ) ) |
13 |
|
simplrl |
|- ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) ) -> X .~ Y ) |
14 |
13
|
anassrs |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> X .~ Y ) |
15 |
|
simpll |
|- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ E. m e. K X = ( m .x. Y ) ) -> X e. B ) |
16 |
6 15
|
sylbi |
|- ( X .~ Y -> X e. B ) |
17 |
14 16
|
syl |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> X e. B ) |
18 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> Y .~ Z ) |
19 |
|
simplr |
|- ( ( ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ E. n e. K Y = ( n .x. Z ) ) -> Z e. B ) |
20 |
10 19
|
sylbi |
|- ( Y .~ Z -> Z e. B ) |
21 |
18 20
|
syl |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> Z e. B ) |
22 |
3
|
lmodring |
|- ( V e. LMod -> S e. Ring ) |
23 |
22
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> S e. Ring ) |
24 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> m e. K ) |
25 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> n e. K ) |
26 |
|
eqid |
|- ( .r ` S ) = ( .r ` S ) |
27 |
5 26
|
ringcl |
|- ( ( S e. Ring /\ m e. K /\ n e. K ) -> ( m ( .r ` S ) n ) e. K ) |
28 |
23 24 25 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> ( m ( .r ` S ) n ) e. K ) |
29 |
|
oveq1 |
|- ( o = ( m ( .r ` S ) n ) -> ( o .x. Z ) = ( ( m ( .r ` S ) n ) .x. Z ) ) |
30 |
29
|
eqeq2d |
|- ( o = ( m ( .r ` S ) n ) -> ( X = ( o .x. Z ) <-> X = ( ( m ( .r ` S ) n ) .x. Z ) ) ) |
31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) /\ o = ( m ( .r ` S ) n ) ) -> ( X = ( o .x. Z ) <-> X = ( ( m ( .r ` S ) n ) .x. Z ) ) ) |
32 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> Y = ( n .x. Z ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> ( m .x. Y ) = ( m .x. ( n .x. Z ) ) ) |
34 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> X = ( m .x. Y ) ) |
35 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> V e. LMod ) |
36 |
|
eldifi |
|- ( Z e. ( ( Base ` V ) \ { ( 0g ` V ) } ) -> Z e. ( Base ` V ) ) |
37 |
36 2
|
eleq2s |
|- ( Z e. B -> Z e. ( Base ` V ) ) |
38 |
21 37
|
syl |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> Z e. ( Base ` V ) ) |
39 |
|
eqid |
|- ( Base ` V ) = ( Base ` V ) |
40 |
39 3 4 5 26
|
lmodvsass |
|- ( ( V e. LMod /\ ( m e. K /\ n e. K /\ Z e. ( Base ` V ) ) ) -> ( ( m ( .r ` S ) n ) .x. Z ) = ( m .x. ( n .x. Z ) ) ) |
41 |
35 24 25 38 40
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> ( ( m ( .r ` S ) n ) .x. Z ) = ( m .x. ( n .x. Z ) ) ) |
42 |
33 34 41
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> X = ( ( m ( .r ` S ) n ) .x. Z ) ) |
43 |
28 31 42
|
rspcedvd |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> E. o e. K X = ( o .x. Z ) ) |
44 |
1
|
prjsprel |
|- ( X .~ Z <-> ( ( X e. B /\ Z e. B ) /\ E. o e. K X = ( o .x. Z ) ) ) |
45 |
17 21 43 44
|
syl21anbrc |
|- ( ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) /\ ( n e. K /\ Y = ( n .x. Z ) ) ) -> X .~ Z ) |
46 |
12 45
|
rexlimddv |
|- ( ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) /\ ( m e. K /\ X = ( m .x. Y ) ) ) -> X .~ Z ) |
47 |
8 46
|
rexlimddv |
|- ( ( V e. LMod /\ ( X .~ Y /\ Y .~ Z ) ) -> X .~ Z ) |