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Theorem prjspertr

Description: The relation in PrjSp is transitive. (Contributed by Steven Nguyen, 1-May-2023)

Ref Expression
Hypotheses prjsprel.1 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ( 𝑥𝐵𝑦𝐵 ) ∧ ∃ 𝑙𝐾 𝑥 = ( 𝑙 · 𝑦 ) ) }
prjspertr.b 𝐵 = ( ( Base ‘ 𝑉 ) ∖ { ( 0g𝑉 ) } )
prjspertr.s 𝑆 = ( Scalar ‘ 𝑉 )
prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉 )
prjspertr.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝑆 )
Assertion prjspertr ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) → 𝑋 𝑍 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 prjsprel.1 = { ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∣ ( ( 𝑥𝐵𝑦𝐵 ) ∧ ∃ 𝑙𝐾 𝑥 = ( 𝑙 · 𝑦 ) ) }
2 prjspertr.b 𝐵 = ( ( Base ‘ 𝑉 ) ∖ { ( 0g𝑉 ) } )
3 prjspertr.s 𝑆 = ( Scalar ‘ 𝑉 )
4 prjspertr.x · = ( ·𝑠𝑉 )
5 prjspertr.k 𝐾 = ( Base ‘ 𝑆 )
6 1 prjsprel ( 𝑋 𝑌 ↔ ( ( 𝑋𝐵𝑌𝐵 ) ∧ ∃ 𝑚𝐾 𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) )
7 6 simprbi ( 𝑋 𝑌 → ∃ 𝑚𝐾 𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) )
8 7 ad2antrl ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) → ∃ 𝑚𝐾 𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) )
9 simplrr ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) → 𝑌 𝑍 )
10 1 prjsprel ( 𝑌 𝑍 ↔ ( ( 𝑌𝐵𝑍𝐵 ) ∧ ∃ 𝑛𝐾 𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) )
11 10 simprbi ( 𝑌 𝑍 → ∃ 𝑛𝐾 𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) )
12 9 11 syl ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) → ∃ 𝑛𝐾 𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) )
13 simplrl ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) ) → 𝑋 𝑌 )
14 13 anassrs ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑋 𝑌 )
15 simpll ( ( ( 𝑋𝐵𝑌𝐵 ) ∧ ∃ 𝑚𝐾 𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) → 𝑋𝐵 )
16 6 15 sylbi ( 𝑋 𝑌𝑋𝐵 )
17 14 16 syl ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑋𝐵 )
18 9 adantr ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑌 𝑍 )
19 simplr ( ( ( 𝑌𝐵𝑍𝐵 ) ∧ ∃ 𝑛𝐾 𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) → 𝑍𝐵 )
20 10 19 sylbi ( 𝑌 𝑍𝑍𝐵 )
21 18 20 syl ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑍𝐵 )
22 3 lmodring ( 𝑉 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring )
23 22 ad3antrrr ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑆 ∈ Ring )
24 simplrl ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑚𝐾 )
25 simprl ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑛𝐾 )
26 eqid ( .r𝑆 ) = ( .r𝑆 )
27 5 26 ringcl ( ( 𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑚𝐾𝑛𝐾 ) → ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) ∈ 𝐾 )
28 23 24 25 27 syl3anc ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) ∈ 𝐾 )
29 oveq1 ( 𝑜 = ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) → ( 𝑜 · 𝑍 ) = ( ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) · 𝑍 ) )
30 29 eqeq2d ( 𝑜 = ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) → ( 𝑋 = ( 𝑜 · 𝑍 ) ↔ 𝑋 = ( ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) · 𝑍 ) ) )
31 30 adantl ( ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) ∧ 𝑜 = ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) ) → ( 𝑋 = ( 𝑜 · 𝑍 ) ↔ 𝑋 = ( ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) · 𝑍 ) ) )
32 simprr ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) )
33 32 oveq2d ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → ( 𝑚 · 𝑌 ) = ( 𝑚 · ( 𝑛 · 𝑍 ) ) )
34 simplrr ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) )
35 simplll ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑉 ∈ LMod )
36 eldifi ( 𝑍 ∈ ( ( Base ‘ 𝑉 ) ∖ { ( 0g𝑉 ) } ) → 𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝑉 ) )
37 36 2 eleq2s ( 𝑍𝐵𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝑉 ) )
38 21 37 syl ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝑉 ) )
39 eqid ( Base ‘ 𝑉 ) = ( Base ‘ 𝑉 )
40 39 3 4 5 26 lmodvsass ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑚𝐾𝑛𝐾𝑍 ∈ ( Base ‘ 𝑉 ) ) ) → ( ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) · 𝑍 ) = ( 𝑚 · ( 𝑛 · 𝑍 ) ) )
41 35 24 25 38 40 syl13anc ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → ( ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) · 𝑍 ) = ( 𝑚 · ( 𝑛 · 𝑍 ) ) )
42 33 34 41 3eqtr4d ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑋 = ( ( 𝑚 ( .r𝑆 ) 𝑛 ) · 𝑍 ) )
43 28 31 42 rspcedvd ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → ∃ 𝑜𝐾 𝑋 = ( 𝑜 · 𝑍 ) )
44 1 prjsprel ( 𝑋 𝑍 ↔ ( ( 𝑋𝐵𝑍𝐵 ) ∧ ∃ 𝑜𝐾 𝑋 = ( 𝑜 · 𝑍 ) ) )
45 17 21 43 44 syl21anbrc ( ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) ∧ ( 𝑛𝐾𝑌 = ( 𝑛 · 𝑍 ) ) ) → 𝑋 𝑍 )
46 12 45 rexlimddv ( ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) ∧ ( 𝑚𝐾𝑋 = ( 𝑚 · 𝑌 ) ) ) → 𝑋 𝑍 )
47 8 46 rexlimddv ( ( 𝑉 ∈ LMod ∧ ( 𝑋 𝑌𝑌 𝑍 ) ) → 𝑋 𝑍 )