Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
projf1o.1 |
|- ( ph -> A e. V ) |
2 |
|
projf1o.2 |
|- F = ( x e. B |-> <. A , x >. ) |
3 |
|
snidg |
|- ( A e. V -> A e. { A } ) |
4 |
1 3
|
syl |
|- ( ph -> A e. { A } ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> A e. { A } ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> y e. B ) |
7 |
5 6
|
opelxpd |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> <. A , y >. e. ( { A } X. B ) ) |
8 |
|
opeq2 |
|- ( x = y -> <. A , x >. = <. A , y >. ) |
9 |
8
|
cbvmptv |
|- ( x e. B |-> <. A , x >. ) = ( y e. B |-> <. A , y >. ) |
10 |
2 9
|
eqtri |
|- F = ( y e. B |-> <. A , y >. ) |
11 |
7 10
|
fmptd |
|- ( ph -> F : B --> ( { A } X. B ) ) |
12 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> ph ) |
13 |
2 8 6 7
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( F ` y ) = <. A , y >. ) |
14 |
13
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> <. A , y >. = ( F ` y ) ) |
15 |
14
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) -> <. A , y >. = ( F ` y ) ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> <. A , y >. = ( F ` y ) ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` z ) ) |
18 |
|
opeq2 |
|- ( y = z -> <. A , y >. = <. A , z >. ) |
19 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ z e. B ) -> z e. B ) |
20 |
|
opex |
|- <. A , z >. e. _V |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ( ph /\ z e. B ) -> <. A , z >. e. _V ) |
22 |
10 18 19 21
|
fvmptd3 |
|- ( ( ph /\ z e. B ) -> ( F ` z ) = <. A , z >. ) |
23 |
22
|
3adant2 |
|- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( F ` z ) = <. A , z >. ) |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> ( F ` z ) = <. A , z >. ) |
25 |
16 17 24
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> <. A , y >. = <. A , z >. ) |
26 |
|
vex |
|- z e. _V |
27 |
26
|
a1i |
|- ( ph -> z e. _V ) |
28 |
|
opthg2 |
|- ( ( A e. V /\ z e. _V ) -> ( <. A , y >. = <. A , z >. <-> ( A = A /\ y = z ) ) ) |
29 |
1 27 28
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( <. A , y >. = <. A , z >. <-> ( A = A /\ y = z ) ) ) |
30 |
29
|
simplbda |
|- ( ( ph /\ <. A , y >. = <. A , z >. ) -> y = z ) |
31 |
12 25 30
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( F ` y ) = ( F ` z ) ) -> y = z ) |
32 |
31
|
ex |
|- ( ( ph /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) |
33 |
32
|
3expb |
|- ( ( ph /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) |
34 |
33
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. y e. B A. z e. B ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) |
35 |
|
dff13 |
|- ( F : B -1-1-> ( { A } X. B ) <-> ( F : B --> ( { A } X. B ) /\ A. y e. B A. z e. B ( ( F ` y ) = ( F ` z ) -> y = z ) ) ) |
36 |
11 34 35
|
sylanbrc |
|- ( ph -> F : B -1-1-> ( { A } X. B ) ) |
37 |
|
elsnxp |
|- ( A e. V -> ( z e. ( { A } X. B ) <-> E. y e. B z = <. A , y >. ) ) |
38 |
1 37
|
syl |
|- ( ph -> ( z e. ( { A } X. B ) <-> E. y e. B z = <. A , y >. ) ) |
39 |
38
|
biimpa |
|- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> E. y e. B z = <. A , y >. ) |
40 |
13
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z = <. A , y >. ) -> ( F ` y ) = <. A , y >. ) |
41 |
|
id |
|- ( z = <. A , y >. -> z = <. A , y >. ) |
42 |
41
|
eqcomd |
|- ( z = <. A , y >. -> <. A , y >. = z ) |
43 |
42
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z = <. A , y >. ) -> <. A , y >. = z ) |
44 |
40 43
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ph /\ y e. B ) /\ z = <. A , y >. ) -> z = ( F ` y ) ) |
45 |
44
|
ex |
|- ( ( ph /\ y e. B ) -> ( z = <. A , y >. -> z = ( F ` y ) ) ) |
46 |
45
|
adantlr |
|- ( ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) /\ y e. B ) -> ( z = <. A , y >. -> z = ( F ` y ) ) ) |
47 |
46
|
reximdva |
|- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> ( E. y e. B z = <. A , y >. -> E. y e. B z = ( F ` y ) ) ) |
48 |
39 47
|
mpd |
|- ( ( ph /\ z e. ( { A } X. B ) ) -> E. y e. B z = ( F ` y ) ) |
49 |
48
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. z e. ( { A } X. B ) E. y e. B z = ( F ` y ) ) |
50 |
|
dffo3 |
|- ( F : B -onto-> ( { A } X. B ) <-> ( F : B --> ( { A } X. B ) /\ A. z e. ( { A } X. B ) E. y e. B z = ( F ` y ) ) ) |
51 |
11 49 50
|
sylanbrc |
|- ( ph -> F : B -onto-> ( { A } X. B ) ) |
52 |
|
df-f1o |
|- ( F : B -1-1-onto-> ( { A } X. B ) <-> ( F : B -1-1-> ( { A } X. B ) /\ F : B -onto-> ( { A } X. B ) ) ) |
53 |
36 51 52
|
sylanbrc |
|- ( ph -> F : B -1-1-onto-> ( { A } X. B ) ) |