Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ptcld.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
2 |
|
ptcld.f |
|- ( ph -> F : A --> Top ) |
3 |
|
ptcld.c |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) ) |
4 |
|
eqid |
|- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k ) |
5 |
4
|
cldss |
|- ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) -> C C_ U. ( F ` k ) ) |
6 |
3 5
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C C_ U. ( F ` k ) ) |
7 |
6
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) |
8 |
|
boxriin |
|- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ph -> X_ k e. A C = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F ) |
11 |
10
|
ptuni |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) ) |
12 |
1 2 11
|
syl2anc |
|- ( ph -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) ) |
13 |
12
|
ineq1d |
|- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) ) |
14 |
|
pttop |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top ) |
15 |
1 2 14
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( Xt_ ` F ) e. Top ) |
16 |
|
sseq1 |
|- ( C = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( C C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) ) |
17 |
|
sseq1 |
|- ( U. ( F ` k ) = if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) -> ( U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) <-> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) ) |
18 |
|
simpl |
|- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ k = x ) -> C C_ U. ( F ` k ) ) |
19 |
|
ssidd |
|- ( ( C C_ U. ( F ` k ) /\ -. k = x ) -> U. ( F ` k ) C_ U. ( F ` k ) ) |
20 |
16 17 18 19
|
ifbothda |
|- ( C C_ U. ( F ` k ) -> if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) |
21 |
20
|
ralimi |
|- ( A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) -> A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) ) |
22 |
|
ss2ixp |
|- ( A. k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( F ` k ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) |
23 |
7 21 22
|
3syl |
|- ( ph -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ X_ k e. A U. ( F ` k ) ) |
25 |
12
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) ) |
26 |
24 25
|
sseqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) ) |
27 |
12
|
eqcomd |
|- ( ph -> U. ( Xt_ ` F ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) ) |
28 |
27
|
difeq1d |
|- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) ) |
30 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A ) |
31 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) |
32 |
|
boxcutc |
|- ( ( x e. A /\ A. k e. A C C_ U. ( F ` k ) ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) ) |
33 |
30 31 32
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) ) |
34 |
|
ixpeq2 |
|- ( A. k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) ) |
35 |
|
fveq2 |
|- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) ) |
36 |
35
|
unieqd |
|- ( k = x -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` x ) ) |
37 |
|
csbeq1a |
|- ( k = x -> C = [_ x / k ]_ C ) |
38 |
36 37
|
difeq12d |
|- ( k = x -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) ) |
39 |
38
|
adantl |
|- ( ( k e. A /\ k = x ) -> ( U. ( F ` k ) \ C ) = ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) ) |
40 |
39
|
ifeq1da |
|- ( k e. A -> if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) ) |
41 |
34 40
|
mprg |
|- X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) |
42 |
41
|
a1i |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` k ) \ C ) , U. ( F ` k ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) ) |
43 |
29 33 42
|
3eqtrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) = X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) ) |
44 |
1
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> A e. V ) |
45 |
2
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> F : A --> Top ) |
46 |
3
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) ) |
47 |
|
nfv |
|- F/ x C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) |
48 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ x / k ]_ C |
49 |
48
|
nfel1 |
|- F/ k [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) |
50 |
|
2fveq3 |
|- ( k = x -> ( Clsd ` ( F ` k ) ) = ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) |
51 |
37 50
|
eleq12d |
|- ( k = x -> ( C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) ) |
52 |
47 49 51
|
cbvralw |
|- ( A. k e. A C e. ( Clsd ` ( F ` k ) ) <-> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) |
53 |
46 52
|
sylib |
|- ( ph -> A. x e. A [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) |
54 |
53
|
r19.21bi |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) ) |
55 |
|
eqid |
|- U. ( F ` x ) = U. ( F ` x ) |
56 |
55
|
cldopn |
|- ( [_ x / k ]_ C e. ( Clsd ` ( F ` x ) ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) ) |
57 |
54 56
|
syl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) e. ( F ` x ) ) |
58 |
44 45 57
|
ptopn2 |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , ( U. ( F ` x ) \ [_ x / k ]_ C ) , U. ( F ` k ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) |
59 |
43 58
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) |
60 |
|
eqid |
|- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F ) |
61 |
60
|
iscld |
|- ( ( Xt_ ` F ) e. Top -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) ) |
62 |
15 61
|
syl |
|- ( ph -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) ) |
63 |
62
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) <-> ( X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) C_ U. ( Xt_ ` F ) /\ ( U. ( Xt_ ` F ) \ X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Xt_ ` F ) ) ) ) |
64 |
26 59 63
|
mpbir2and |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) |
65 |
64
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) |
66 |
60
|
riincld |
|- ( ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) |
67 |
15 65 66
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` F ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) |
68 |
13 67
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( X_ k e. A U. ( F ` k ) i^i |^|_ x e. A X_ k e. A if ( k = x , C , U. ( F ` k ) ) ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) |
69 |
9 68
|
eqeltrd |
|- ( ph -> X_ k e. A C e. ( Clsd ` ( Xt_ ` F ) ) ) |