Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ringcsect.c |
|- C = ( RingCat ` U ) |
2 |
|
ringcsect.b |
|- B = ( Base ` C ) |
3 |
|
ringcsect.u |
|- ( ph -> U e. V ) |
4 |
|
ringcsect.x |
|- ( ph -> X e. B ) |
5 |
|
ringcsect.y |
|- ( ph -> Y e. B ) |
6 |
|
ringcinv.n |
|- N = ( Inv ` C ) |
7 |
1
|
ringccat |
|- ( U e. V -> C e. Cat ) |
8 |
3 7
|
syl |
|- ( ph -> C e. Cat ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Sect ` C ) = ( Sect ` C ) |
10 |
2 6 8 4 5 9
|
isinv |
|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F ( X ( Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y ( Sect ` C ) X ) F ) ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( Base ` X ) = ( Base ` X ) |
12 |
1 2 3 4 5 11 9
|
ringcsect |
|- ( ph -> ( F ( X ( Sect ` C ) Y ) G <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) ) |
13 |
|
df-3an |
|- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) |
14 |
12 13
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( F ( X ( Sect ` C ) Y ) G <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) ) |
15 |
|
eqid |
|- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) |
16 |
1 2 3 5 4 15 9
|
ringcsect |
|- ( ph -> ( G ( Y ( Sect ` C ) X ) F <-> ( G e. ( Y RingHom X ) /\ F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) |
17 |
|
3ancoma |
|- ( ( G e. ( Y RingHom X ) /\ F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) |
18 |
|
df-3an |
|- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) |
19 |
17 18
|
bitri |
|- ( ( G e. ( Y RingHom X ) /\ F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) |
20 |
16 19
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( G ( Y ( Sect ` C ) X ) F <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) |
21 |
14 20
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( F ( X ( Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y ( Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) ) |
22 |
|
anandi |
|- ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) |
23 |
21 22
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( ( F ( X ( Sect ` C ) Y ) G /\ G ( Y ( Sect ` C ) X ) F ) <-> ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) ) |
24 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) ) |
26 |
11 15
|
rhmf |
|- ( F e. ( X RingHom Y ) -> F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) |
27 |
15 11
|
rhmf |
|- ( G e. ( Y RingHom X ) -> G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) |
28 |
26 27
|
anim12i |
|- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) ) |
29 |
28
|
ad2antlr |
|- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) ) |
30 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) |
31 |
30
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) |
32 |
|
simpr |
|- ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) |
33 |
32
|
ad2antrl |
|- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) |
34 |
29 31 33
|
jca32 |
|- ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) ) |
36 |
|
fcof1o |
|- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) ) |
37 |
|
eqcom |
|- ( `' F = G <-> G = `' F ) |
38 |
37
|
anbi2i |
|- ( ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ `' F = G ) <-> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) |
39 |
36 38
|
sylib |
|- ( ( ( F : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) /\ G : ( Base ` Y ) --> ( Base ` X ) ) /\ ( ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) |
40 |
35 39
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) |
41 |
|
anass |
|- ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) /\ G = `' F ) ) ) |
42 |
25 40 41
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) |
43 |
11 15
|
isrim |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) ) |
44 |
4 5 43
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) ) ) |
45 |
44
|
anbi1d |
|- ( ph -> ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) ) |
46 |
45
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) <-> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) /\ G = `' F ) ) ) |
47 |
42 46
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) |
48 |
11 15
|
rimrhm |
|- ( F e. ( X RingIso Y ) -> F e. ( X RingHom Y ) ) |
49 |
48
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> F e. ( X RingHom Y ) ) |
50 |
|
isrim0 |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
51 |
4 5 50
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
52 |
|
eleq1 |
|- ( `' F = G -> ( `' F e. ( Y RingHom X ) <-> G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
53 |
52
|
eqcoms |
|- ( G = `' F -> ( `' F e. ( Y RingHom X ) <-> G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
54 |
53
|
anbi2d |
|- ( G = `' F -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
55 |
51 54
|
sylan9bbr |
|- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
56 |
|
simpr |
|- ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) |
57 |
55 56
|
syl6bi |
|- ( ( G = `' F /\ ph ) -> ( F e. ( X RingIso Y ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
58 |
57
|
com12 |
|- ( F e. ( X RingIso Y ) -> ( ( G = `' F /\ ph ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
59 |
58
|
expdimp |
|- ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
60 |
59
|
impcom |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> G e. ( Y RingHom X ) ) |
61 |
|
coeq1 |
|- ( G = `' F -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) ) |
62 |
61
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( `' F o. F ) ) |
63 |
11 15
|
rimf1o |
|- ( F e. ( X RingIso Y ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) |
64 |
63
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) ) |
65 |
|
f1ococnv1 |
|- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) |
66 |
64 65
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( `' F o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) |
67 |
62 66
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) |
68 |
49 60 67
|
jca31 |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) ) |
69 |
51
|
biimpcd |
|- ( F e. ( X RingIso Y ) -> ( ph -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
70 |
69
|
adantr |
|- ( ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) -> ( ph -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
71 |
70
|
impcom |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) |
72 |
|
eleq1 |
|- ( G = `' F -> ( G e. ( Y RingHom X ) <-> `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) |
73 |
72
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( G e. ( Y RingHom X ) <-> `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) |
74 |
73
|
anbi2d |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) <-> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ `' F e. ( Y RingHom X ) ) ) ) |
75 |
71 74
|
mpbird |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) |
76 |
|
coeq2 |
|- ( G = `' F -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) ) |
77 |
76
|
ad2antll |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( F o. `' F ) ) |
78 |
|
f1ococnv2 |
|- ( F : ( Base ` X ) -1-1-onto-> ( Base ` Y ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) |
79 |
64 78
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. `' F ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) |
80 |
77 79
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) |
81 |
75 67 80
|
jca31 |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) |
82 |
68 75 81
|
jca31 |
|- ( ( ph /\ ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) -> ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) ) |
83 |
47 82
|
impbida |
|- ( ph -> ( ( ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) ) /\ ( ( ( F e. ( X RingHom Y ) /\ G e. ( Y RingHom X ) ) /\ ( G o. F ) = ( _I |` ( Base ` X ) ) ) /\ ( F o. G ) = ( _I |` ( Base ` Y ) ) ) ) <-> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) ) |
84 |
10 23 83
|
3bitrd |
|- ( ph -> ( F ( X N Y ) G <-> ( F e. ( X RingIso Y ) /\ G = `' F ) ) ) |