Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sylow3.x |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
sylow3.g |
|- ( ph -> G e. Grp ) |
3 |
|
sylow3.xf |
|- ( ph -> X e. Fin ) |
4 |
|
sylow3.p |
|- ( ph -> P e. Prime ) |
5 |
|
sylow3lem5.a |
|- .+ = ( +g ` G ) |
6 |
|
sylow3lem5.d |
|- .- = ( -g ` G ) |
7 |
|
sylow3lem5.k |
|- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) ) |
8 |
|
sylow3lem5.m |
|- .(+) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |
9 |
|
slwsubg |
|- ( K e. ( P pSyl G ) -> K e. ( SubGrp ` G ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
|- ( ph -> K e. ( SubGrp ` G ) ) |
11 |
1
|
subgss |
|- ( K e. ( SubGrp ` G ) -> K C_ X ) |
12 |
10 11
|
syl |
|- ( ph -> K C_ X ) |
13 |
|
ssid |
|- ( P pSyl G ) C_ ( P pSyl G ) |
14 |
|
resmpo |
|- ( ( K C_ X /\ ( P pSyl G ) C_ ( P pSyl G ) ) -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) ) |
15 |
12 13 14
|
sylancl |
|- ( ph -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) ) |
16 |
15 8
|
eqtr4di |
|- ( ph -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) = .(+) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( z = c -> ( x .+ z ) = ( x .+ c ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
|- ( z = c -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( x .+ c ) .- x ) ) |
19 |
18
|
cbvmptv |
|- ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( c e. y |-> ( ( x .+ c ) .- x ) ) |
20 |
|
oveq1 |
|- ( x = a -> ( x .+ c ) = ( a .+ c ) ) |
21 |
|
id |
|- ( x = a -> x = a ) |
22 |
20 21
|
oveq12d |
|- ( x = a -> ( ( x .+ c ) .- x ) = ( ( a .+ c ) .- a ) ) |
23 |
22
|
mpteq2dv |
|- ( x = a -> ( c e. y |-> ( ( x .+ c ) .- x ) ) = ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) ) |
24 |
19 23
|
eqtrid |
|- ( x = a -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) ) |
25 |
24
|
rneqd |
|- ( x = a -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) ) |
26 |
|
mpteq1 |
|- ( y = b -> ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) = ( c e. b |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) ) |
27 |
26
|
rneqd |
|- ( y = b -> ran ( c e. y |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) = ran ( c e. b |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) ) |
28 |
25 27
|
cbvmpov |
|- ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( a e. X , b e. ( P pSyl G ) |-> ran ( c e. b |-> ( ( a .+ c ) .- a ) ) ) |
29 |
1 2 3 4 5 6 28
|
sylow3lem1 |
|- ( ph -> ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) ) |
30 |
|
eqid |
|- ( G |`s K ) = ( G |`s K ) |
31 |
30
|
gasubg |
|- ( ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) /\ K e. ( SubGrp ` G ) ) -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) e. ( ( G |`s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) ) |
32 |
29 10 31
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) |` ( K X. ( P pSyl G ) ) ) e. ( ( G |`s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) ) |
33 |
16 32
|
eqeltrrd |
|- ( ph -> .(+) e. ( ( G |`s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) ) |