Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
breq1 |
|- ( b = y -> ( b <_ a <-> y <_ a ) ) |
2 |
1
|
cbvralvw |
|- ( A. b e. A b <_ a <-> A. y e. A y <_ a ) |
3 |
2
|
rexbii |
|- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. a e. RR A. y e. A y <_ a ) |
4 |
|
breq2 |
|- ( a = x -> ( y <_ a <-> y <_ x ) ) |
5 |
4
|
ralbidv |
|- ( a = x -> ( A. y e. A y <_ a <-> A. y e. A y <_ x ) ) |
6 |
5
|
cbvrexvw |
|- ( E. a e. RR A. y e. A y <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) |
7 |
3 6
|
bitri |
|- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) |
8 |
|
renegcl |
|- ( a e. RR -> -u a e. RR ) |
9 |
|
elrabi |
|- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> y e. RR ) |
10 |
|
negeq |
|- ( z = y -> -u z = -u y ) |
11 |
10
|
eleq1d |
|- ( z = y -> ( -u z e. A <-> -u y e. A ) ) |
12 |
11
|
elrab3 |
|- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u y e. A ) ) |
13 |
12
|
biimpd |
|- ( y e. RR -> ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) ) |
14 |
9 13
|
mpcom |
|- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> -u y e. A ) |
15 |
|
breq1 |
|- ( b = -u y -> ( b <_ a <-> -u y <_ a ) ) |
16 |
15
|
rspcv |
|- ( -u y e. A -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) ) |
17 |
14 16
|
syl |
|- ( y e. { z e. RR | -u z e. A } -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u y <_ a ) ) |
19 |
|
lenegcon1 |
|- ( ( a e. RR /\ y e. RR ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) ) |
20 |
9 19
|
sylan2 |
|- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( -u a <_ y <-> -u y <_ a ) ) |
21 |
18 20
|
sylibrd |
|- ( ( a e. RR /\ y e. { z e. RR | -u z e. A } ) -> ( A. b e. A b <_ a -> -u a <_ y ) ) |
22 |
21
|
ralrimdva |
|- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) ) |
23 |
|
breq1 |
|- ( x = -u a -> ( x <_ y <-> -u a <_ y ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
|- ( x = -u a -> ( A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y <-> A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) ) |
25 |
24
|
rspcev |
|- ( ( -u a e. RR /\ A. y e. { z e. RR | -u z e. A } -u a <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) |
26 |
8 22 25
|
syl6an |
|- ( a e. RR -> ( A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) ) |
27 |
26
|
rexlimiv |
|- ( E. a e. RR A. b e. A b <_ a -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) |
28 |
7 27
|
sylbir |
|- ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x -> E. x e. RR A. y e. { z e. RR | -u z e. A } x <_ y ) |