Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
un0addcl.1 |
|- ( ph -> S C_ CC ) |
2 |
|
un0addcl.2 |
|- T = ( S u. { 0 } ) |
3 |
|
un0addcl.3 |
|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. S ) |
4 |
2
|
eleq2i |
|- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 } ) ) |
5 |
|
elun |
|- ( N e. ( S u. { 0 } ) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) ) |
6 |
4 5
|
bitri |
|- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 } ) ) |
7 |
2
|
eleq2i |
|- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 } ) ) |
8 |
|
elun |
|- ( M e. ( S u. { 0 } ) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) |
9 |
7 8
|
bitri |
|- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) |
10 |
|
ssun1 |
|- S C_ ( S u. { 0 } ) |
11 |
10 2
|
sseqtrri |
|- S C_ T |
12 |
11 3
|
sselid |
|- ( ( ph /\ ( M e. S /\ N e. S ) ) -> ( M + N ) e. T ) |
13 |
12
|
expr |
|- ( ( ph /\ M e. S ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) ) |
14 |
1
|
sselda |
|- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. CC ) |
15 |
14
|
addid2d |
|- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) = N ) |
16 |
11
|
a1i |
|- ( ph -> S C_ T ) |
17 |
16
|
sselda |
|- ( ( ph /\ N e. S ) -> N e. T ) |
18 |
15 17
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( 0 + N ) e. T ) |
19 |
|
elsni |
|- ( M e. { 0 } -> M = 0 ) |
20 |
19
|
oveq1d |
|- ( M e. { 0 } -> ( M + N ) = ( 0 + N ) ) |
21 |
20
|
eleq1d |
|- ( M e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( 0 + N ) e. T ) ) |
22 |
18 21
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ph /\ N e. S ) -> ( M e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) ) |
23 |
22
|
impancom |
|- ( ( ph /\ M e. { 0 } ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) ) |
24 |
13 23
|
jaodan |
|- ( ( ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 } ) ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) ) |
25 |
9 24
|
sylan2b |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. S -> ( M + N ) e. T ) ) |
26 |
|
0cnd |
|- ( ph -> 0 e. CC ) |
27 |
26
|
snssd |
|- ( ph -> { 0 } C_ CC ) |
28 |
1 27
|
unssd |
|- ( ph -> ( S u. { 0 } ) C_ CC ) |
29 |
2 28
|
eqsstrid |
|- ( ph -> T C_ CC ) |
30 |
29
|
sselda |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. CC ) |
31 |
30
|
addid1d |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) = M ) |
32 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> M e. T ) |
33 |
31 32
|
eqeltrd |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( M + 0 ) e. T ) |
34 |
|
elsni |
|- ( N e. { 0 } -> N = 0 ) |
35 |
34
|
oveq2d |
|- ( N e. { 0 } -> ( M + N ) = ( M + 0 ) ) |
36 |
35
|
eleq1d |
|- ( N e. { 0 } -> ( ( M + N ) e. T <-> ( M + 0 ) e. T ) ) |
37 |
33 36
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. { 0 } -> ( M + N ) e. T ) ) |
38 |
25 37
|
jaod |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( ( N e. S \/ N e. { 0 } ) -> ( M + N ) e. T ) ) |
39 |
6 38
|
syl5bi |
|- ( ( ph /\ M e. T ) -> ( N e. T -> ( M + N ) e. T ) ) |
40 |
39
|
impr |
|- ( ( ph /\ ( M e. T /\ N e. T ) ) -> ( M + N ) e. T ) |