Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
uzub.1 |
|- F/ j ph |
2 |
|
uzub.2 |
|- ( ph -> M e. ZZ ) |
3 |
|
uzub.3 |
|- Z = ( ZZ>= ` M ) |
4 |
|
uzub.12 |
|- ( ( ph /\ j e. Z ) -> B e. RR ) |
5 |
|
fveq2 |
|- ( k = i -> ( ZZ>= ` k ) = ( ZZ>= ` i ) ) |
6 |
5
|
raleqdv |
|- ( k = i -> ( A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x ) ) |
7 |
6
|
cbvrexvw |
|- ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x ) |
8 |
7
|
a1i |
|- ( x = w -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x ) ) |
9 |
|
breq2 |
|- ( x = w -> ( B <_ x <-> B <_ w ) ) |
10 |
9
|
ralbidv |
|- ( x = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) ) |
11 |
10
|
rexbidv |
|- ( x = w -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) ) |
12 |
8 11
|
bitrd |
|- ( x = w -> ( E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) ) |
13 |
12
|
cbvrexvw |
|- ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) |
14 |
13
|
a1i |
|- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) ) |
15 |
|
breq2 |
|- ( w = y -> ( B <_ w <-> B <_ y ) ) |
16 |
15
|
ralbidv |
|- ( w = y -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) ) |
17 |
16
|
rexbidv |
|- ( w = y -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) ) |
18 |
17
|
cbvrexvw |
|- ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) |
19 |
18
|
biimpi |
|- ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w -> E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) |
20 |
|
nfv |
|- F/ j y e. RR |
21 |
1 20
|
nfan |
|- F/ j ( ph /\ y e. RR ) |
22 |
|
nfv |
|- F/ j i e. Z |
23 |
21 22
|
nfan |
|- F/ j ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) |
24 |
|
nfra1 |
|- F/ j A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y |
25 |
23 24
|
nfan |
|- F/ j ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) |
26 |
|
nfmpt1 |
|- F/_ j ( j e. ( M ... i ) |-> B ) |
27 |
26
|
nfrn |
|- F/_ j ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) |
28 |
|
nfcv |
|- F/_ j RR |
29 |
|
nfcv |
|- F/_ j < |
30 |
27 28 29
|
nfsup |
|- F/_ j sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) |
31 |
|
nfcv |
|- F/_ j <_ |
32 |
|
nfcv |
|- F/_ j y |
33 |
30 31 32
|
nfbr |
|- F/ j sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y |
34 |
33 32 30
|
nfif |
|- F/_ j if ( sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) ) |
35 |
2
|
ad3antrrr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> M e. ZZ ) |
36 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> y e. RR ) |
37 |
|
eqid |
|- sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) |
38 |
|
eqid |
|- if ( sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) ) = if ( sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) <_ y , y , sup ( ran ( j e. ( M ... i ) |-> B ) , RR , < ) ) |
39 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> i e. Z ) |
40 |
4
|
ad5ant15 |
|- ( ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) /\ j e. Z ) -> B e. RR ) |
41 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) |
42 |
25 34 35 3 36 37 38 39 40 41
|
uzublem |
|- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ i e. Z ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) |
43 |
42
|
rexlimdva2 |
|- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) ) |
44 |
43
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) |
45 |
44
|
rexlimdva2 |
|- ( ph -> ( E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) ) |
46 |
45
|
imp |
|- ( ( ph /\ E. y e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ y ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) |
47 |
19 46
|
sylan2 |
|- ( ( ph /\ E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) |
48 |
47
|
ex |
|- ( ph -> ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w -> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) ) |
49 |
2 3
|
uzidd2 |
|- ( ph -> M e. Z ) |
50 |
49
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. j e. Z B <_ w ) -> M e. Z ) |
51 |
3
|
raleqi |
|- ( A. j e. Z B <_ w <-> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) |
52 |
51
|
biimpi |
|- ( A. j e. Z B <_ w -> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) |
53 |
52
|
adantl |
|- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. j e. Z B <_ w ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) |
54 |
|
nfv |
|- F/ i A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w |
55 |
|
fveq2 |
|- ( i = M -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` M ) ) |
56 |
55
|
raleqdv |
|- ( i = M -> ( A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) ) |
57 |
54 56
|
rspce |
|- ( ( M e. Z /\ A. j e. ( ZZ>= ` M ) B <_ w ) -> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) |
58 |
50 53 57
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ w e. RR ) /\ A. j e. Z B <_ w ) -> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) |
59 |
58
|
ex |
|- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( A. j e. Z B <_ w -> E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) ) |
60 |
59
|
reximdva |
|- ( ph -> ( E. w e. RR A. j e. Z B <_ w -> E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w ) ) |
61 |
48 60
|
impbid |
|- ( ph -> ( E. w e. RR E. i e. Z A. j e. ( ZZ>= ` i ) B <_ w <-> E. w e. RR A. j e. Z B <_ w ) ) |
62 |
|
breq2 |
|- ( w = x -> ( B <_ w <-> B <_ x ) ) |
63 |
62
|
ralbidv |
|- ( w = x -> ( A. j e. Z B <_ w <-> A. j e. Z B <_ x ) ) |
64 |
63
|
cbvrexvw |
|- ( E. w e. RR A. j e. Z B <_ w <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x ) |
65 |
64
|
a1i |
|- ( ph -> ( E. w e. RR A. j e. Z B <_ w <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x ) ) |
66 |
14 61 65
|
3bitrd |
|- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. Z A. j e. ( ZZ>= ` k ) B <_ x <-> E. x e. RR A. j e. Z B <_ x ) ) |