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Theorem axacndlem5

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016)

Ref Expression
Assertion axacndlem5 x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 axacndlem4 x v z x v z z w w v w v z z w v w w x v = w
2 nfnae x ¬ y y = z
3 nfnae x ¬ y y = x
4 nfnae x ¬ y y = w
5 2 3 4 nf3an x ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w
6 nfnae y ¬ y y = z
7 nfnae y ¬ y y = x
8 nfnae y ¬ y y = w
9 6 7 8 nf3an y ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w
10 nfnae z ¬ y y = z
11 nfnae z ¬ y y = x
12 nfnae z ¬ y y = w
13 10 11 12 nf3an z ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w
14 nfcvd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ y v
15 nfcvf ¬ y y = z _ y z
16 15 3ad2ant1 ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ y z
17 14 16 nfeld ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v z
18 nfcvf ¬ y y = w _ y w
19 18 3ad2ant3 ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ y w
20 16 19 nfeld ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y z w
21 17 20 nfand ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v z z w
22 5 21 nfald ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y x v z z w
23 nfnae w ¬ y y = z
24 nfnae w ¬ y y = x
25 nfnae w ¬ y y = w
26 23 24 25 nf3an w ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w
27 nfv v ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w
28 14 19 nfeld ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v w
29 nfcvf ¬ y y = x _ y x
30 29 3ad2ant2 ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ y x
31 19 30 nfeld ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y w x
32 28 31 nfand ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v w w x
33 21 32 nfand ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v z z w v w w x
34 26 33 nfexd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y w v z z w v w w x
35 14 19 nfeqd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v = w
36 34 35 nfbid ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y w v z z w v w w x v = w
37 27 36 nfald ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y v w v z z w v w w x v = w
38 26 37 nfexd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y w v w v z z w v w w x v = w
39 22 38 nfimd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y x v z z w w v w v z z w v w w x v = w
40 13 39 nfald ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w y z x v z z w w v w v z z w v w w x v = w
41 nfcvd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ z v
42 nfcvf2 ¬ y y = z _ z y
43 42 3ad2ant1 ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ z y
44 41 43 nfeqd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w z v = y
45 13 44 nfan1 z ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y
46 nfcvd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ x v
47 nfcvf2 ¬ y y = x _ x y
48 47 3ad2ant2 ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ x y
49 46 48 nfeqd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w x v = y
50 5 49 nfan1 x ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y
51 simpr ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v = y
52 51 eleq1d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v z y z
53 52 anbi1d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v z z w y z z w
54 50 53 albid ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y x v z z w x y z z w
55 nfcvd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ w v
56 nfcvf2 ¬ y y = w _ w y
57 56 3ad2ant3 ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w _ w y
58 55 57 nfeqd ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w w v = y
59 26 58 nfan1 w ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y
60 51 eleq1d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v w y w
61 60 anbi1d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v w w x y w w x
62 53 61 anbi12d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v z z w v w w x y z z w y w w x
63 59 62 exbid ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y w v z z w v w w x w y z z w y w w x
64 51 eqeq1d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y v = w y = w
65 63 64 bibi12d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y w v z z w v w w x v = w w y z z w y w w x y = w
66 65 ex ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y w v z z w v w w x v = w w y z z w y w w x y = w
67 9 36 66 cbvald ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v w v z z w v w w x v = w y w y z z w y w w x y = w
68 26 67 exbid ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w w v w v z z w v w w x v = w w y w y z z w y w w x y = w
69 68 adantr ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y w v w v z z w v w w x v = w w y w y z z w y w w x y = w
70 54 69 imbi12d ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y x v z z w w v w v z z w v w w x v = w x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
71 45 70 albid ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y z x v z z w w v w v z z w v w w x v = w z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
72 71 ex ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v = y z x v z z w w v w v z z w v w w x v = w z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
73 9 40 72 cbvald ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w v z x v z z w w v w v z z w v w w x v = w y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
74 5 73 exbid ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w x v z x v z z w w v w v z z w v w w x v = w x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
75 1 74 mpbii ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
76 75 3exp ¬ y y = z ¬ y y = x ¬ y y = w x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
77 axacndlem3 y y = z x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
78 axacndlem1 x x = y x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
79 78 aecoms y y = x x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
80 nfae z y y = w
81 en2lp ¬ y z z y
82 elequ2 y = w z y z w
83 82 anbi2d y = w y z z y y z z w
84 81 83 mtbii y = w ¬ y z z w
85 84 sps y y = w ¬ y z z w
86 85 pm2.21d y y = w y z z w w y w y z z w y w w x y = w
87 86 spsd y y = w x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
88 80 87 alrimi y y = w z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
89 88 axc4i y y = w y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
90 89 19.8ad y y = w x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w
91 76 77 79 90 pm2.61iii x y z x y z z w w y w y z z w y w w x y = w