Metamath Proof Explorer


Theorem ccat2s1p2OLD

Description: Obsolete version of ccat2s1p2 as of 20-Jan-2024. Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion ccat2s1p2OLD X V Y V ⟨“ X ”⟩ ++ ⟨“ Y ”⟩ 1 = Y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 s1cl X V ⟨“ X ”⟩ Word V
2 1 adantr X V Y V ⟨“ X ”⟩ Word V
3 s1cl Y V ⟨“ Y ”⟩ Word V
4 3 adantl X V Y V ⟨“ Y ”⟩ Word V
5 1z 1
6 2z 2
7 1lt2 1 < 2
8 fzolb 1 1 ..^ 2 1 2 1 < 2
9 5 6 7 8 mpbir3an 1 1 ..^ 2
10 s1len ⟨“ X ”⟩ = 1
11 s1len ⟨“ Y ”⟩ = 1
12 10 11 oveq12i ⟨“ X ”⟩ + ⟨“ Y ”⟩ = 1 + 1
13 1p1e2 1 + 1 = 2
14 12 13 eqtri ⟨“ X ”⟩ + ⟨“ Y ”⟩ = 2
15 10 14 oveq12i ⟨“ X ”⟩ ..^ ⟨“ X ”⟩ + ⟨“ Y ”⟩ = 1 ..^ 2
16 9 15 eleqtrri 1 ⟨“ X ”⟩ ..^ ⟨“ X ”⟩ + ⟨“ Y ”⟩
17 16 a1i X V Y V 1 ⟨“ X ”⟩ ..^ ⟨“ X ”⟩ + ⟨“ Y ”⟩
18 ccatval2 ⟨“ X ”⟩ Word V ⟨“ Y ”⟩ Word V 1 ⟨“ X ”⟩ ..^ ⟨“ X ”⟩ + ⟨“ Y ”⟩ ⟨“ X ”⟩ ++ ⟨“ Y ”⟩ 1 = ⟨“ Y ”⟩ 1 ⟨“ X ”⟩
19 2 4 17 18 syl3anc X V Y V ⟨“ X ”⟩ ++ ⟨“ Y ”⟩ 1 = ⟨“ Y ”⟩ 1 ⟨“ X ”⟩
20 10 oveq2i 1 ⟨“ X ”⟩ = 1 1
21 1m1e0 1 1 = 0
22 20 21 eqtri 1 ⟨“ X ”⟩ = 0
23 22 a1i Y V 1 ⟨“ X ”⟩ = 0
24 23 fveq2d Y V ⟨“ Y ”⟩ 1 ⟨“ X ”⟩ = ⟨“ Y ”⟩ 0
25 s1fv Y V ⟨“ Y ”⟩ 0 = Y
26 24 25 eqtrd Y V ⟨“ Y ”⟩ 1 ⟨“ X ”⟩ = Y
27 26 adantl X V Y V ⟨“ Y ”⟩ 1 ⟨“ X ”⟩ = Y
28 19 27 eqtrd X V Y V ⟨“ X ”⟩ ++ ⟨“ Y ”⟩ 1 = Y