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Theorem glb0N

Description: The greatest lower bound of the empty set is the unit element. (Contributed by NM, 5-Dec-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses glb0.g G = glb K
glb0.u 1 ˙ = 1. K
Assertion glb0N K OP G = 1 ˙

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 glb0.g G = glb K
2 glb0.u 1 ˙ = 1. K
3 eqid Base K = Base K
4 eqid K = K
5 biid y x K y z Base K y z K y z K x y x K y z Base K y z K y z K x
6 id K OP K OP
7 0ss Base K
8 7 a1i K OP Base K
9 3 4 1 5 6 8 glbval K OP G = ι x Base K | y x K y z Base K y z K y z K x
10 3 2 op1cl K OP 1 ˙ Base K
11 ral0 y z K y
12 11 a1bi z K x y z K y z K x
13 12 ralbii z Base K z K x z Base K y z K y z K x
14 ral0 y x K y
15 14 biantrur z Base K y z K y z K x y x K y z Base K y z K y z K x
16 13 15 bitri z Base K z K x y x K y z Base K y z K y z K x
17 10 adantr K OP x Base K 1 ˙ Base K
18 breq1 z = 1 ˙ z K x 1 ˙ K x
19 18 rspcv 1 ˙ Base K z Base K z K x 1 ˙ K x
20 17 19 syl K OP x Base K z Base K z K x 1 ˙ K x
21 3 4 2 op1le K OP x Base K 1 ˙ K x x = 1 ˙
22 20 21 sylibd K OP x Base K z Base K z K x x = 1 ˙
23 3 4 2 ople1 K OP z Base K z K 1 ˙
24 23 adantlr K OP x Base K z Base K z K 1 ˙
25 24 ex K OP x Base K z Base K z K 1 ˙
26 breq2 x = 1 ˙ z K x z K 1 ˙
27 26 biimprcd z K 1 ˙ x = 1 ˙ z K x
28 25 27 syl6 K OP x Base K z Base K x = 1 ˙ z K x
29 28 com23 K OP x Base K x = 1 ˙ z Base K z K x
30 29 ralrimdv K OP x Base K x = 1 ˙ z Base K z K x
31 22 30 impbid K OP x Base K z Base K z K x x = 1 ˙
32 16 31 bitr3id K OP x Base K y x K y z Base K y z K y z K x x = 1 ˙
33 10 32 riota5 K OP ι x Base K | y x K y z Base K y z K y z K x = 1 ˙
34 9 33 eqtrd K OP G = 1 ˙