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Theorem isassintop

Description: The predicate "is an associative (closed internal binary) operations for a set". (Contributed by FL, 2-Nov-2009) (Revised by AV, 20-Jan-2020)

Ref Expression
Assertion isassintop Could not format assertion : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) with typecode |-

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 assintopmap M V assIntOp M = o M M × M | o assLaw M
2 1 eleq2d Could not format ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> .o. e. { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> .o. e. { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } ) ) with typecode |-
3 breq1 Could not format ( o = .o. -> ( o assLaw M <-> .o. assLaw M ) ) : No typesetting found for |- ( o = .o. -> ( o assLaw M <-> .o. assLaw M ) ) with typecode |-
4 3 elrab Could not format ( .o. e. { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } <-> ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) : No typesetting found for |- ( .o. e. { o e. ( M ^m ( M X. M ) ) | o assLaw M } <-> ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) with typecode |-
5 2 4 bitrdi Could not format ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) ) with typecode |-
6 elmapi Could not format ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) -> .o. : ( M X. M ) --> M ) : No typesetting found for |- ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) -> .o. : ( M X. M ) --> M ) with typecode |-
7 6 ad2antrl Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> .o. : ( M X. M ) --> M ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> .o. : ( M X. M ) --> M ) with typecode |-
8 isasslaw Could not format ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) with typecode |-
9 8 biimpd Could not format ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) with typecode |-
10 9 impancom Could not format ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) -> ( M e. V -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) -> ( M e. V -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) with typecode |-
11 10 impcom Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) with typecode |-
12 7 11 jca Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) with typecode |-
13 12 ex Could not format ( M e. V -> ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( ( .o. e. ( M ^m ( M X. M ) ) /\ .o. assLaw M ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) with typecode |-
14 5 13 sylbid Could not format ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) -> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) with typecode |-
15 isclintop Could not format ( M e. V -> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) <-> .o. : ( M X. M ) --> M ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) <-> .o. : ( M X. M ) --> M ) ) with typecode |-
16 15 biimprcd Could not format ( .o. : ( M X. M ) --> M -> ( M e. V -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) ) : No typesetting found for |- ( .o. : ( M X. M ) --> M -> ( M e. V -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) ) with typecode |-
17 16 adantr Could not format ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) -> ( M e. V -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) -> ( M e. V -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) ) with typecode |-
18 17 impcom Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. e. ( clIntOp ` M ) ) with typecode |-
19 sqxpexg M V M × M V
20 fex Could not format ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ ( M X. M ) e. _V ) -> .o. e. _V ) : No typesetting found for |- ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ ( M X. M ) e. _V ) -> .o. e. _V ) with typecode |-
21 19 20 sylan2 Could not format ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ M e. V ) -> .o. e. _V ) : No typesetting found for |- ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ M e. V ) -> .o. e. _V ) with typecode |-
22 21 ancoms Could not format ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> .o. e. _V ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> .o. e. _V ) with typecode |-
23 simpl Could not format ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> M e. V ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> M e. V ) with typecode |-
24 isasslaw Could not format ( ( .o. e. _V /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( .o. e. _V /\ M e. V ) -> ( .o. assLaw M <-> A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) with typecode |-
25 24 bicomd Could not format ( ( .o. e. _V /\ M e. V ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> .o. assLaw M ) ) : No typesetting found for |- ( ( .o. e. _V /\ M e. V ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> .o. assLaw M ) ) with typecode |-
26 22 23 25 syl2anc Could not format ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> .o. assLaw M ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> .o. assLaw M ) ) with typecode |-
27 26 biimpd Could not format ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> .o. assLaw M ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ .o. : ( M X. M ) --> M ) -> ( A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) -> .o. assLaw M ) ) with typecode |-
28 27 impr Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. assLaw M ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. assLaw M ) with typecode |-
29 assintopval M V assIntOp M = o clIntOp M | o assLaw M
30 29 adantr Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( assIntOp ` M ) = { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( assIntOp ` M ) = { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } ) with typecode |-
31 30 eleq2d Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> .o. e. { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> .o. e. { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } ) ) with typecode |-
32 3 elrab Could not format ( .o. e. { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } <-> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) /\ .o. assLaw M ) ) : No typesetting found for |- ( .o. e. { o e. ( clIntOp ` M ) | o assLaw M } <-> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) /\ .o. assLaw M ) ) with typecode |-
33 31 32 bitrdi Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) /\ .o. assLaw M ) ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. e. ( clIntOp ` M ) /\ .o. assLaw M ) ) ) with typecode |-
34 18 28 33 mpbir2and Could not format ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. e. ( assIntOp ` M ) ) : No typesetting found for |- ( ( M e. V /\ ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) -> .o. e. ( assIntOp ` M ) ) with typecode |-
35 34 ex Could not format ( M e. V -> ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) -> .o. e. ( assIntOp ` M ) ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) -> .o. e. ( assIntOp ` M ) ) ) with typecode |-
36 14 35 impbid Could not format ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) : No typesetting found for |- ( M e. V -> ( .o. e. ( assIntOp ` M ) <-> ( .o. : ( M X. M ) --> M /\ A. x e. M A. y e. M A. z e. M ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) ) ) with typecode |-