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Theorem ismtycnv

Description: The inverse of an isometry is an isometry. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion ismtycnv M ∞Met X N ∞Met Y F M Ismty N F -1 N Ismty M

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 f1ocnv F : X 1-1 onto Y F -1 : Y 1-1 onto X
2 1 adantr F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y F -1 : Y 1-1 onto X
3 f1ocnvdm F : X 1-1 onto Y u Y F -1 u X
4 3 ex F : X 1-1 onto Y u Y F -1 u X
5 f1ocnvdm F : X 1-1 onto Y v Y F -1 v X
6 5 ex F : X 1-1 onto Y v Y F -1 v X
7 4 6 anim12d F : X 1-1 onto Y u Y v Y F -1 u X F -1 v X
8 7 adantr F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y u Y v Y F -1 u X F -1 v X
9 8 imdistani F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y u Y v Y F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y F -1 u X F -1 v X
10 oveq1 x = F -1 u x M y = F -1 u M y
11 fveq2 x = F -1 u F x = F F -1 u
12 11 oveq1d x = F -1 u F x N F y = F F -1 u N F y
13 10 12 eqeq12d x = F -1 u x M y = F x N F y F -1 u M y = F F -1 u N F y
14 oveq2 y = F -1 v F -1 u M y = F -1 u M F -1 v
15 fveq2 y = F -1 v F y = F F -1 v
16 15 oveq2d y = F -1 v F F -1 u N F y = F F -1 u N F F -1 v
17 14 16 eqeq12d y = F -1 v F -1 u M y = F F -1 u N F y F -1 u M F -1 v = F F -1 u N F F -1 v
18 13 17 rspc2v F -1 u X F -1 v X x X y X x M y = F x N F y F -1 u M F -1 v = F F -1 u N F F -1 v
19 18 impcom x X y X x M y = F x N F y F -1 u X F -1 v X F -1 u M F -1 v = F F -1 u N F F -1 v
20 19 adantll F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y F -1 u X F -1 v X F -1 u M F -1 v = F F -1 u N F F -1 v
21 9 20 syl F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y u Y v Y F -1 u M F -1 v = F F -1 u N F F -1 v
22 f1ocnvfv2 F : X 1-1 onto Y u Y F F -1 u = u
23 22 adantrr F : X 1-1 onto Y u Y v Y F F -1 u = u
24 f1ocnvfv2 F : X 1-1 onto Y v Y F F -1 v = v
25 24 adantrl F : X 1-1 onto Y u Y v Y F F -1 v = v
26 23 25 oveq12d F : X 1-1 onto Y u Y v Y F F -1 u N F F -1 v = u N v
27 26 adantlr F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y u Y v Y F F -1 u N F F -1 v = u N v
28 21 27 eqtr2d F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y u Y v Y u N v = F -1 u M F -1 v
29 28 ralrimivva F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y u Y v Y u N v = F -1 u M F -1 v
30 2 29 jca F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y F -1 : Y 1-1 onto X u Y v Y u N v = F -1 u M F -1 v
31 30 a1i M ∞Met X N ∞Met Y F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y F -1 : Y 1-1 onto X u Y v Y u N v = F -1 u M F -1 v
32 isismty M ∞Met X N ∞Met Y F M Ismty N F : X 1-1 onto Y x X y X x M y = F x N F y
33 isismty N ∞Met Y M ∞Met X F -1 N Ismty M F -1 : Y 1-1 onto X u Y v Y u N v = F -1 u M F -1 v
34 33 ancoms M ∞Met X N ∞Met Y F -1 N Ismty M F -1 : Y 1-1 onto X u Y v Y u N v = F -1 u M F -1 v
35 31 32 34 3imtr4d M ∞Met X N ∞Met Y F M Ismty N F -1 N Ismty M