Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
atanval |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ 𝐴 ) = ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
2 |
1
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 2 · i ) · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 2 · i ) · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
3 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
4 |
3
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ ) |
5 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
6 |
5
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ ) |
7 |
|
atancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( arctan ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
8 |
4 6 7
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 2 · i ) · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) = ( 2 · ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
9 |
|
halfcl |
⊢ ( i ∈ ℂ → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
10 |
5 9
|
ax-mp |
⊢ ( i / 2 ) ∈ ℂ |
11 |
3 5 10
|
mulassi |
⊢ ( ( 2 · i ) · ( i / 2 ) ) = ( 2 · ( i · ( i / 2 ) ) ) |
12 |
3 5 10
|
mul12i |
⊢ ( 2 · ( i · ( i / 2 ) ) ) = ( i · ( 2 · ( i / 2 ) ) ) |
13 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
14 |
5 3 13
|
divcan2i |
⊢ ( 2 · ( i / 2 ) ) = i |
15 |
14
|
oveq2i |
⊢ ( i · ( 2 · ( i / 2 ) ) ) = ( i · i ) |
16 |
|
ixi |
⊢ ( i · i ) = - 1 |
17 |
15 16
|
eqtri |
⊢ ( i · ( 2 · ( i / 2 ) ) ) = - 1 |
18 |
11 12 17
|
3eqtri |
⊢ ( ( 2 · i ) · ( i / 2 ) ) = - 1 |
19 |
18
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( 2 · i ) · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( - 1 · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
20 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
21 |
|
atandm2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) ) |
22 |
21
|
simp1bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ ) |
23 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
24 |
5 22 23
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
25 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
26 |
20 24 25
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
27 |
21
|
simp2bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
28 |
26 27
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
29 |
|
addcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
30 |
20 24 29
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
31 |
21
|
simp3bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) |
32 |
30 31
|
logcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
33 |
28 32
|
subcld |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
33
|
mulm1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( - 1 · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
35 |
19 34
|
syl5eq |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( ( 2 · i ) · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
36 |
|
2mulicn |
⊢ ( 2 · i ) ∈ ℂ |
37 |
36
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 2 · i ) ∈ ℂ ) |
38 |
10
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i / 2 ) ∈ ℂ ) |
39 |
37 38 33
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( ( 2 · i ) · ( i / 2 ) ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( 2 · i ) · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) ) |
40 |
28 32
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → - ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
41 |
35 39 40
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 2 · i ) · ( ( i / 2 ) · ( ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
42 |
2 8 41
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 2 · ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) = ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) |
43 |
42
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( exp ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
44 |
|
efsub |
⊢ ( ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) → ( exp ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
45 |
32 28 44
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) − ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) ) |
46 |
|
eflog |
⊢ ( ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
47 |
30 31 46
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) |
48 |
|
eflog |
⊢ ( ( ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ≠ 0 ) → ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
49 |
26 27 48
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) |
50 |
47 49
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) / ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
51 |
|
negsub |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i + - 𝐴 ) = ( i − 𝐴 ) ) |
52 |
5 22 51
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i + - 𝐴 ) = ( i − 𝐴 ) ) |
53 |
6
|
mulid1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · 1 ) = i ) |
54 |
16
|
oveq1i |
⊢ ( ( i · i ) · 𝐴 ) = ( - 1 · 𝐴 ) |
55 |
6 6 22
|
mulassd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · i ) · 𝐴 ) = ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) |
56 |
22
|
mulm1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( - 1 · 𝐴 ) = - 𝐴 ) |
57 |
54 55 56
|
3eqtr3a |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( i · 𝐴 ) ) = - 𝐴 ) |
58 |
53 57
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · 1 ) + ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) = ( i + - 𝐴 ) ) |
59 |
6 22 6
|
pnpcan2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i + i ) − ( 𝐴 + i ) ) = ( i − 𝐴 ) ) |
60 |
52 58 59
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · 1 ) + ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( i + i ) − ( 𝐴 + i ) ) ) |
61 |
20
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ ) |
62 |
6 61 24
|
adddid |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( i · 1 ) + ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
63 |
6
|
2timesd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 2 · i ) = ( i + i ) ) |
64 |
63
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 2 · i ) − ( 𝐴 + i ) ) = ( ( i + i ) − ( 𝐴 + i ) ) ) |
65 |
60 62 64
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( 2 · i ) − ( 𝐴 + i ) ) ) |
66 |
6 61 24
|
subdid |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( i · 1 ) − ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
67 |
53 57
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · 1 ) − ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) = ( i − - 𝐴 ) ) |
68 |
|
subneg |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i − - 𝐴 ) = ( i + 𝐴 ) ) |
69 |
5 22 68
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i − - 𝐴 ) = ( i + 𝐴 ) ) |
70 |
67 69
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · 1 ) − ( i · ( i · 𝐴 ) ) ) = ( i + 𝐴 ) ) |
71 |
|
addcom |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i + 𝐴 ) = ( 𝐴 + i ) ) |
72 |
5 22 71
|
sylancr |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i + 𝐴 ) = ( 𝐴 + i ) ) |
73 |
66 70 72
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( i · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 + i ) ) |
74 |
65 73
|
oveq12d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) / ( i · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( 2 · i ) − ( 𝐴 + i ) ) / ( 𝐴 + i ) ) ) |
75 |
|
ine0 |
⊢ i ≠ 0 |
76 |
75
|
a1i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → i ≠ 0 ) |
77 |
30 26 6 27 76
|
divcan5d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( i · ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) / ( i · ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) = ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) / ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) |
78 |
|
addcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + i ) ∈ ℂ ) |
79 |
22 5 78
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 𝐴 + i ) ∈ ℂ ) |
80 |
|
subneg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − - i ) = ( 𝐴 + i ) ) |
81 |
22 5 80
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 𝐴 − - i ) = ( 𝐴 + i ) ) |
82 |
|
atandm |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan ↔ ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ - i ∧ 𝐴 ≠ i ) ) |
83 |
82
|
simp2bi |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ - i ) |
84 |
|
negicn |
⊢ - i ∈ ℂ |
85 |
|
subeq0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ - i ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − - i ) = 0 ↔ 𝐴 = - i ) ) |
86 |
85
|
necon3bid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ - i ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − - i ) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ - i ) ) |
87 |
22 84 86
|
sylancl |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 𝐴 − - i ) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ - i ) ) |
88 |
83 87
|
mpbird |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 𝐴 − - i ) ≠ 0 ) |
89 |
81 88
|
eqnetrrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( 𝐴 + i ) ≠ 0 ) |
90 |
37 79 79 89
|
divsubdird |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( ( 2 · i ) − ( 𝐴 + i ) ) / ( 𝐴 + i ) ) = ( ( ( 2 · i ) / ( 𝐴 + i ) ) − ( ( 𝐴 + i ) / ( 𝐴 + i ) ) ) ) |
91 |
74 77 90
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) / ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) = ( ( ( 2 · i ) / ( 𝐴 + i ) ) − ( ( 𝐴 + i ) / ( 𝐴 + i ) ) ) ) |
92 |
79 89
|
dividd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( 𝐴 + i ) / ( 𝐴 + i ) ) = 1 ) |
93 |
92
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( ( 2 · i ) / ( 𝐴 + i ) ) − ( ( 𝐴 + i ) / ( 𝐴 + i ) ) ) = ( ( ( 2 · i ) / ( 𝐴 + i ) ) − 1 ) ) |
94 |
50 91 93
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 + ( i · 𝐴 ) ) ) ) / ( exp ‘ ( log ‘ ( 1 − ( i · 𝐴 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 · i ) / ( 𝐴 + i ) ) − 1 ) ) |
95 |
43 45 94
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom arctan → ( exp ‘ ( 2 · ( i · ( arctan ‘ 𝐴 ) ) ) ) = ( ( ( 2 · i ) / ( 𝐴 + i ) ) − 1 ) ) |