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Theorem 3atlem2

Description: Lemma for 3at . (Contributed by NM, 22-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses 3at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
Assertion 3atlem2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3at.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 3at.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 3at.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
4 simp3 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
5 simp11 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
6 5 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
7 simp121 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
8 simp122 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 )
9 eqid ⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
10 9 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
11 5 7 8 10 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
12 simp123 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 )
13 9 3 atbase ⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14 12 13 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15 simp131 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
16 simp132 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
17 9 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18 5 15 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 simp133 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
20 9 3 atbase ⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21 19 20 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 9 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 6 18 21 22 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
24 9 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) )
25 6 11 14 23 24 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) )
26 4 25 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑅 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) )
27 26 simprd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑅 ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )
28 2 3 hlatjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
29 5 15 16 19 28 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
30 simp22r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
31 simp22l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑈 )
32 1 2 3 hlatexchb2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑈 ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
33 5 7 16 19 31 32 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
34 30 33 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) )
35 34 oveq2d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
36 29 35 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
37 2 3 hlatjass ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) )
38 5 7 8 19 37 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) )
39 2 3 hlatj12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) = ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
40 5 7 8 19 39 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑄 ∨ 𝑈 ) ) = ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
41 2 3 hlatj32 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑄 ) )
42 5 7 8 12 41 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑄 ) )
43 4 42 29 3brtr3d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
44 9 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
45 5 7 12 44 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
46 9 3 atbase ⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
47 8 46 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
48 9 3 atbase ⊢ ( 𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
49 15 48 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
50 9 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
51 5 16 19 50 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
52 9 2 latjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
53 6 49 51 52 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
54 9 1 2 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
55 6 45 47 53 54 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑄 ) ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
56 43 55 mpbird ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ) )
57 56 simprd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) )
58 57 35 breqtrrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
59 9 2 3 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
60 5 7 19 59 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
61 simp23 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) )
62 9 1 2 3 hlexchb2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ) )
63 5 8 15 60 61 62 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑄 ≤ ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ↔ ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ) )
64 58 63 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑄 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
65 38 40 64 3eqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) = ( 𝑆 ∨ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) )
66 36 65 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) )
67 27 66 breqtrd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) )
68 simp21 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
69 9 1 2 3 hlexchb1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) ) )
70 5 12 19 11 68 69 syl131anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( 𝑅 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) ↔ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) ) )
71 67 70 mpbid ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑈 ) )
72 71 66 eqtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑈 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ¬ 𝑄 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ) ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ≤ ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∨ 𝑈 ) )