Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bitsval2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑚 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
2 |
|
2z |
⊢ 2 ∈ ℤ |
3 |
2
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 2 ∈ ℤ ) |
4 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
5 |
4
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
6 |
|
2nn |
⊢ 2 ∈ ℕ |
7 |
6
|
a1i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 2 ∈ ℕ ) |
8 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 𝑚 ∈ ℕ0 ) |
9 |
7 8
|
nnexpcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑚 ) ∈ ℕ ) |
10 |
5 9
|
nndivred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
flcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℤ ) |
12 |
|
dvdsnegb |
⊢ ( ( 2 ∈ ℤ ∧ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℤ ) → ( 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ 2 ∥ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
13 |
3 11 12
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ 2 ∥ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
notbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ ¬ 2 ∥ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
15 |
11
|
znegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℤ ) |
16 |
|
oddm1even |
⊢ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℤ → ( ¬ 2 ∥ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ 2 ∥ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ) ) |
17 |
15 16
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 2 ∥ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ 2 ∥ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ) ) |
18 |
|
flltp1 |
⊢ ( ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ → ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) ) |
19 |
10 18
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) ) |
20 |
11
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
21 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℝ ) |
22 |
20 21
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
23 |
10 22
|
ltnegd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) ↔ - ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) < - ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
24 |
19 23
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) < - ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) |
25 |
20
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
26 |
21
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℂ ) |
27 |
25 26
|
negdi2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) + 1 ) = ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ) |
28 |
5
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
29 |
9
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑚 ) ∈ ℂ ) |
30 |
9
|
nnne0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑚 ) ≠ 0 ) |
31 |
28 29 30
|
divnegd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) = ( - 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) |
32 |
24 27 31
|
3brtr3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) < ( - 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) |
33 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → 1 ∈ ℤ ) |
34 |
15 33
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ) |
35 |
34
|
zred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
36 |
5
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - 𝑁 ∈ ℝ ) |
37 |
9
|
nnrpd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑚 ) ∈ ℝ+ ) |
38 |
35 36 37
|
ltmuldivd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < - 𝑁 ↔ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) < ( - 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
39 |
32 38
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < - 𝑁 ) |
40 |
9
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ↑ 𝑚 ) ∈ ℤ ) |
41 |
34 40
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℤ ) |
42 |
4
|
znegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
43 |
|
zltlem1 |
⊢ ( ( ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℤ ∧ - 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < - 𝑁 ↔ ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ ( - 𝑁 − 1 ) ) ) |
44 |
41 42 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < - 𝑁 ↔ ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ ( - 𝑁 − 1 ) ) ) |
45 |
39 44
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ ( - 𝑁 − 1 ) ) |
46 |
36 21
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℝ ) |
47 |
35 46 37
|
lemuldivd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) · ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ ( - 𝑁 − 1 ) ↔ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ≤ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
48 |
45 47
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ≤ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) |
49 |
|
flle |
⊢ ( ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ≤ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) |
50 |
10 49
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ≤ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) |
51 |
20 10
|
lenegd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ≤ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ↔ - ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
52 |
50 51
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
53 |
31 52
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
54 |
20
|
renegcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℝ ) |
55 |
36 54 37
|
ledivmuld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ≤ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ - 𝑁 ≤ ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
56 |
53 55
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - 𝑁 ≤ ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
57 |
40 15
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℤ ) |
58 |
|
zlem1lt |
⊢ ( ( - 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ∈ ℤ ) → ( - 𝑁 ≤ ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ↔ ( - 𝑁 − 1 ) < ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
59 |
42 57 58
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑁 ≤ ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ↔ ( - 𝑁 − 1 ) < ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
60 |
56 59
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝑁 − 1 ) < ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
61 |
46 54 37
|
ltdivmuld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ ( - 𝑁 − 1 ) < ( ( 2 ↑ 𝑚 ) · - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
62 |
60 61
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
63 |
25
|
negcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ∈ ℂ ) |
64 |
63 26
|
npcand |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) + 1 ) = - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) |
65 |
62 64
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) + 1 ) ) |
66 |
46 9
|
nndivred |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ ) |
67 |
|
flbi |
⊢ ( ( ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∈ ℝ ∧ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) = ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ↔ ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ≤ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∧ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
68 |
66 34 67
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) = ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ↔ ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ≤ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ∧ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) < ( ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) + 1 ) ) ) ) |
69 |
48 65 68
|
mpbir2and |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) = ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ) |
70 |
69
|
breq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ 2 ∥ ( - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) − 1 ) ) ) |
71 |
17 70
|
bitr4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 2 ∥ - ( ⌊ ‘ ( 𝑁 / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ↔ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
72 |
1 14 71
|
3bitrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑚 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ↔ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
73 |
72
|
notbid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ) → ( ¬ 𝑚 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ↔ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
74 |
73
|
pm5.32da |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
75 |
|
znegcl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → - 𝑁 ∈ ℤ ) |
76 |
|
1zzd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ ) |
77 |
75 76
|
zsubcld |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ) |
78 |
77
|
biantrurd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ↔ ( ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) ) |
79 |
74 78
|
bitrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) ) |
80 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( ℕ0 ∖ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ) |
81 |
|
bitsval |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( bits ‘ ( - 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) |
82 |
|
3anass |
⊢ ( ( ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ↔ ( ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
83 |
81 82
|
bitri |
⊢ ( 𝑚 ∈ ( bits ‘ ( - 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( ( - 𝑁 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ ( ⌊ ‘ ( ( - 𝑁 − 1 ) / ( 2 ↑ 𝑚 ) ) ) ) ) ) |
84 |
79 80 83
|
3bitr4g |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝑚 ∈ ( ℕ0 ∖ ( bits ‘ 𝑁 ) ) ↔ 𝑚 ∈ ( bits ‘ ( - 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
85 |
84
|
eqrdv |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( ℕ0 ∖ ( bits ‘ 𝑁 ) ) = ( bits ‘ ( - 𝑁 − 1 ) ) ) |