Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
clwwlknonex2.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
clwwlknonex2.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
uz3m2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) |
4 |
3
|
nnne0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( 𝑁 − 2 ) ≠ 0 ) |
5 |
4
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑁 − 2 ) ≠ 0 ) |
6 |
1 2
|
clwwlknonel |
⊢ ( ( 𝑁 − 2 ) ≠ 0 → ( 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ↔ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ) |
8 |
|
simpr11 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
9 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
10 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
11 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
12 |
|
ccatw2s1cl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ) |
14 |
1 2
|
clwwlknonex2lem2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∪ { ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) } ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
15 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
16 |
15
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → 𝑊 ∈ Word 𝑉 ) |
17 |
|
ccatw2s1len |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) ) |
18 |
16 17
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) ) |
19 |
18
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) = ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) − 1 ) ) |
20 |
19
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) = ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) − 1 ) ) ) |
21 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
22 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ) |
23 |
21 22
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ) ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ) ) |
25 |
|
clwwlknonex2lem1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ) → ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) − 1 ) ) = ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∪ { ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) } ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( 0 ..^ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) − 1 ) ) = ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∪ { ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) } ) ) |
27 |
20 26
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) = ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∪ { ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) } ) ) |
28 |
27
|
raleqdv |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ↔ ∀ 𝑖 ∈ ( ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) ∪ { ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) , ( ♯ ‘ 𝑊 ) } ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) ) |
29 |
14 28
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ) |
30 |
|
ccatws1cl |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ) |
31 |
|
lswccats1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑌 ) |
32 |
30 31
|
stoic3 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ) → ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑌 ) |
33 |
16 10 11 32
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑌 ) |
34 |
3
|
nngt0d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 0 < ( 𝑁 − 2 ) ) |
35 |
|
breq2 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) → ( 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ↔ 0 < ( 𝑁 − 2 ) ) ) |
36 |
34 35
|
syl5ibr |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
37 |
36
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
38 |
37
|
com12 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
39 |
38
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
40 |
39
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
41 |
40
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) |
42 |
|
ccat2s1fst |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) = ( 𝑊 ‘ 0 ) ) |
43 |
16 41 42
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) = ( 𝑊 ‘ 0 ) ) |
44 |
33 43
|
preq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } = { 𝑌 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ) |
45 |
|
prcom |
⊢ { 𝑋 , 𝑌 } = { 𝑌 , 𝑋 } |
46 |
45
|
eleq1i |
⊢ ( { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑌 , 𝑋 } ∈ 𝐸 ) |
47 |
46
|
biimpi |
⊢ ( { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 → { 𝑌 , 𝑋 } ∈ 𝐸 ) |
48 |
47
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → { 𝑌 , 𝑋 } ∈ 𝐸 ) |
49 |
|
preq2 |
⊢ ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 → { 𝑌 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } = { 𝑌 , 𝑋 } ) |
50 |
49
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 → ( { 𝑌 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑌 , 𝑋 } ∈ 𝐸 ) ) |
51 |
50
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( { 𝑌 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑌 , 𝑋 } ∈ 𝐸 ) ) |
52 |
51
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( { 𝑌 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ↔ { 𝑌 , 𝑋 } ∈ 𝐸 ) ) |
53 |
48 52
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → { 𝑌 , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) |
54 |
44 53
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) |
55 |
13 29 54
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ) |
56 |
17
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) ) |
57 |
56
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) ) |
58 |
57
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) ) |
59 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) ) |
60 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
61 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
62 |
|
npcan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) = 𝑁 ) |
63 |
60 61 62
|
sylancl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( 𝑁 − 2 ) + 2 ) = 𝑁 ) |
64 |
59 63
|
sylan9eq |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) |
65 |
64
|
ex |
⊢ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) ) |
66 |
65
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) ) |
67 |
66
|
com12 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) ) |
68 |
67
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) ) |
69 |
68
|
imp |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) |
70 |
69
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) + 2 ) = 𝑁 ) |
71 |
58 70
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) |
72 |
55 71
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) |
73 |
72
|
exp31 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ( 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) − 1 ) ) { ( 𝑊 ‘ 𝑖 ) , ( 𝑊 ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ 𝑊 ) , ( 𝑊 ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ 𝑊 ) = ( 𝑁 − 2 ) ∧ ( 𝑊 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 → ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) ) |
74 |
7 73
|
sylbid |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) → ( { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 → ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) ) |
75 |
74
|
com23 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 → ( 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) ) |
76 |
75
|
3imp |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) |
77 |
|
eluzge3nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
78 |
1 2
|
isclwwlknx |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
79 |
77 78
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
80 |
79
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
81 |
80
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) → ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ↔ ( ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 0 ..^ ( ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) − 1 ) ) { ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 𝑖 ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ ( 𝑖 + 1 ) ) } ∈ 𝐸 ∧ { ( lastS ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) , ( ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ‘ 0 ) } ∈ 𝐸 ) ∧ ( ♯ ‘ ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ) = 𝑁 ) ) ) |
82 |
76 81
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ { 𝑋 , 𝑌 } ∈ 𝐸 ∧ 𝑊 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) → ( ( 𝑊 ++ 〈“ 𝑋 ”〉 ) ++ 〈“ 𝑌 ”〉 ) ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) |