Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
divides |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 ) ) |
2 |
1
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 ) ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 ↔ ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 ) ) |
4 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
5 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
6 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ ) |
7 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
8 |
|
mulcom |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 · 𝑁 ) = ( 𝑁 · 𝑥 ) ) |
9 |
6 7 8
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 · 𝑁 ) = ( 𝑁 · 𝑥 ) ) |
10 |
4 5 9
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 · 𝑁 ) = ( 𝑁 · 𝑥 ) ) |
11 |
10
|
breq2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ↔ 𝑀 ∥ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ) |
12 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) |
13 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
14 |
|
coprmdvds |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 ∥ ( 𝑁 · 𝑥 ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) → 𝑀 ∥ 𝑥 ) ) |
15 |
13 5 4 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑀 ∥ ( 𝑁 · 𝑥 ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) → 𝑀 ∥ 𝑥 ) ) |
16 |
12 15
|
mpan2d |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑁 · 𝑥 ) → 𝑀 ∥ 𝑥 ) ) |
17 |
11 16
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) → 𝑀 ∥ 𝑥 ) ) |
18 |
|
dvdsmulc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑥 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ) ) |
19 |
13 4 5 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 ∥ 𝑥 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ) ) |
20 |
17 19
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ) ) |
21 |
|
breq2 |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 → ( 𝑀 ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ↔ 𝑀 ∥ 𝐾 ) ) |
22 |
|
breq2 |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 → ( ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ↔ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |
23 |
21 22
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 → ( ( 𝑀 ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( 𝑥 · 𝑁 ) ) ↔ ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
24 |
20 23
|
syl5ibcom |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 → ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
25 |
24
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 → ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
26 |
25
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · 𝑁 ) = 𝐾 → ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
27 |
3 26
|
sylbid |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( 𝑁 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 ∥ 𝐾 → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) ) |
28 |
27
|
impcomd |
⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑀 gcd 𝑁 ) = 1 ) → ( ( 𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾 ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) ) |