Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
2 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
3 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
4 |
2 3
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
5 |
1 4
|
gcdcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℕ0 ) |
6 |
5
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
7 |
|
dvds0 |
⊢ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 0 ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 0 ) |
9 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) = 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 0 ) |
10 |
|
oveq2 |
⊢ ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) = 0 → ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) = ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · 0 ) ) |
11 |
1 2
|
gcdcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) |
12 |
11
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
13 |
12
|
mul01d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · 0 ) = 0 ) |
14 |
10 13
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) = 0 ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) = 0 ) |
15 |
9 14
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) = 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
16 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
17 |
16
|
zcnd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
18 |
1 3
|
gcdcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
19 |
18
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
20 |
19
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
21 |
20
|
zcnd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
22 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) |
23 |
17 21 22
|
divcan1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) = ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
24 |
|
gcddvds |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ∧ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
25 |
1 4 24
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ∧ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
26 |
25
|
simpld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ) |
27 |
6 1 19 26
|
dvdsmultr1d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
28 |
27
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
29 |
23 28
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
30 |
|
gcddvds |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝐾 ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 ) ) |
31 |
1 3 30
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝐾 ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 ) ) |
32 |
31
|
simpld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝐾 ) |
33 |
31
|
simprd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 ) |
34 |
|
dvdsmultr2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
35 |
19 2 3 34
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝑁 → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
36 |
33 35
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
37 |
|
dvdsgcd |
⊢ ( ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝐾 ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) ) |
38 |
19 1 4 37
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ 𝐾 ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) ) |
39 |
32 36 38
|
mp2and |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ) |
41 |
|
dvdsval2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ∧ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) ) |
42 |
20 22 16 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∥ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) ) |
43 |
40 42
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
44 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
45 |
|
dvdsmulcr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ) ) |
46 |
43 44 20 22 45
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ) ) |
47 |
29 46
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ) |
48 |
|
nn0abscl |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) |
49 |
2 48
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ0 ) |
50 |
49
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
51 |
|
dvdsmultr2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ) ) |
52 |
6 50 1 51
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ) ) |
53 |
26 52
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ) |
54 |
50 3
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
55 |
25
|
simprd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · 𝑁 ) ) |
56 |
|
iddvds |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∥ 𝑀 ) |
57 |
2 56
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∥ 𝑀 ) |
58 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑀 ) ) ) |
59 |
2 2 58
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑀 ↔ 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑀 ) ) ) |
60 |
57 59
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑀 ) ) |
61 |
|
dvdsmulc |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) ) |
62 |
2 50 3 61
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( abs ‘ 𝑀 ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) ) |
63 |
60 62
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝑁 ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) |
64 |
6 4 54 55 63
|
dvdstrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) |
65 |
50 1
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
66 |
|
dvdsgcd |
⊢ ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) gcd ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) ) ) |
67 |
6 65 54 66
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) ∧ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) gcd ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) ) ) |
68 |
53 64 67
|
mp2and |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) gcd ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) ) |
69 |
18
|
nn0red |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
70 |
18
|
nn0ge0d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 0 ≤ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) |
71 |
69 70
|
absidd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) = ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) |
72 |
71
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( abs ‘ 𝑀 ) · ( abs ‘ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
73 |
2
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
74 |
18
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
75 |
73 74
|
absmuld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( abs ‘ 𝑀 ) · ( abs ‘ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
76 |
|
mulgcd |
⊢ ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) gcd ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
77 |
49 1 3 76
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) gcd ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) = ( ( abs ‘ 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
78 |
72 75 77
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( abs ‘ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) = ( ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝐾 ) gcd ( ( abs ‘ 𝑀 ) · 𝑁 ) ) ) |
79 |
68 78
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
80 |
2 19
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
81 |
|
dvdsabsb |
⊢ ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) ) ) |
82 |
6 80 81
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ↔ ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( abs ‘ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) ) ) |
83 |
79 82
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
84 |
83
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
85 |
23 84
|
eqbrtrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
86 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
87 |
|
dvdsmulcr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝑀 ) ) |
88 |
43 86 20 22 87
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝑀 · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ↔ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝑀 ) ) |
89 |
85 88
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝑀 ) |
90 |
|
dvdsgcd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ∧ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝑀 ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ) ) |
91 |
43 44 86 90
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝐾 ∧ ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ 𝑀 ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ) ) |
92 |
47 89 91
|
mp2and |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ) |
93 |
11
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
94 |
93
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
95 |
|
dvdsmulc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 gcd 𝑀 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 gcd 𝑀 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
96 |
43 94 20 95
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( 𝐾 gcd 𝑀 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) ) |
97 |
92 96
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) / ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ∥ ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
98 |
23 97
|
eqbrtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |
99 |
15 98
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 gcd ( 𝑀 · 𝑁 ) ) ∥ ( ( 𝐾 gcd 𝑀 ) · ( 𝐾 gcd 𝑁 ) ) ) |