Theorem dvdsmulcr

Description: Cancellation law for the divides relation. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011)

	Ref	Expression
Assertion	dvdsmulcr	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
2	1	3adant2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
3		zmulcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
4	3	3adant1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ )
5	2 4	jca	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) )
6	5	3adant3r	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝐾 ) ∈ ℤ ) )
7		3simpa	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) )
8		simpr	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → 𝑥 ∈ ℤ )
9		zcn	⊢ ( 𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ )
10		zcn	⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ )
11	9 10	anim12i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) )
12		zcn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
13		zcn	⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ )
14	13	anim1i	⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) → ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) )
15		mulass	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) )
16	15	3expa	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) )
17	16	adantrr	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) )
18	17	3adant2	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) )
19	18	eqeq1d	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ) )
20		mulcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) → ( 𝑥 · 𝑀 ) ∈ ℂ )
21		mulcan2	⊢ ( ( ( 𝑥 · 𝑀 ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
22	20 21	syl3an1	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( ( 𝑥 · 𝑀 ) · 𝐾 ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
23	19 22	bitr3d	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ) ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
24	11 12 14 23	syl3an	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
25	24	3expb	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
26	25	3impa	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
27	26	3coml	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
28	27	3expia	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ) → ( 𝑥 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) )
29	28	3impb	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( 𝑥 ∈ ℤ → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) ) )
30	29	imp	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
31	30	biimpd	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑀 · 𝐾 ) ) = ( 𝑁 · 𝐾 ) → ( 𝑥 · 𝑀 ) = 𝑁 ) )
32	6 7 8 31	dvds1lem	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) → 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
33		dvdsmulc	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) ) )
34	33	3adant3r	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 → ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) ) )
35	32 34	impbid	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝑀 · 𝐾 ) ∥ ( 𝑁 · 𝐾 ) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁 ) )