Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cosord.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( 0 [,] π ) ) |
2 |
|
cosord.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( 0 [,] π ) ) |
3 |
|
cosord.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < 𝐵 ) |
4 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
5 |
|
pire |
⊢ π ∈ ℝ |
6 |
4 5
|
elicc2i |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( 0 [,] π ) ↔ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π ) ) |
7 |
2 6
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π ) ) |
8 |
7
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
10 |
4 5
|
elicc2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 0 [,] π ) ↔ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π ) ) |
11 |
1 10
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π ) ) |
12 |
11
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
14 |
|
subcos |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( ( cos ‘ 𝐴 ) − ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ) |
15 |
9 13 14
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( cos ‘ 𝐴 ) − ( cos ‘ 𝐵 ) ) = ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ) |
16 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
17 |
8 12
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
18 |
17
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
resincld |
⊢ ( 𝜑 → ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
20 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 ∈ ℝ ) |
21 |
11
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 0 ≤ 𝐴 ) |
22 |
20 12 8 21 3
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐵 ) |
23 |
8 12 22 21
|
addgtge0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 + 𝐴 ) ) |
24 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
25 |
|
2pos |
⊢ 0 < 2 |
26 |
|
divgt0 |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 + 𝐴 ) ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 < ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) |
27 |
24 25 26
|
mpanr12 |
⊢ ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 + 𝐴 ) ) → 0 < ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) |
28 |
17 23 27
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) |
29 |
5
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → π ∈ ℝ ) |
30 |
12 8 8 3
|
ltadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝐴 ) < ( 𝐵 + 𝐵 ) ) |
31 |
9
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐵 ) = ( 𝐵 + 𝐵 ) ) |
32 |
30 31
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 + 𝐴 ) < ( 2 · 𝐵 ) ) |
33 |
24
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℝ ) |
34 |
25
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 2 ) |
35 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) < 𝐵 ↔ ( 𝐵 + 𝐴 ) < ( 2 · 𝐵 ) ) ) |
36 |
17 8 33 34 35
|
syl112anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) < 𝐵 ↔ ( 𝐵 + 𝐴 ) < ( 2 · 𝐵 ) ) ) |
37 |
32 36
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) < 𝐵 ) |
38 |
7
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≤ π ) |
39 |
18 8 29 37 38
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) < π ) |
40 |
|
0xr |
⊢ 0 ∈ ℝ* |
41 |
5
|
rexri |
⊢ π ∈ ℝ* |
42 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∧ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) < π ) ) ) |
43 |
40 41 42
|
mp2an |
⊢ ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∧ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) < π ) ) |
44 |
18 28 39 43
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
45 |
|
sinq12gt0 |
⊢ ( ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) ) |
46 |
44 45
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) ) |
47 |
19 46
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ+ ) |
48 |
8 12
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
49 |
48
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ) |
50 |
49
|
resincld |
⊢ ( 𝜑 → ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ ) |
51 |
12 8
|
posdifd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
52 |
3 51
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
53 |
|
divgt0 |
⊢ ( ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) |
54 |
24 25 53
|
mpanr12 |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 − 𝐴 ) ) → 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) |
55 |
48 52 54
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) |
56 |
|
rehalfcl |
⊢ ( π ∈ ℝ → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
57 |
5 56
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( π / 2 ) ∈ ℝ ) |
58 |
8 12
|
subge02d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ≤ 𝐴 ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) ≤ 𝐵 ) ) |
59 |
21 58
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ≤ 𝐵 ) |
60 |
48 8 29 59 38
|
letrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ≤ π ) |
61 |
|
lediv1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ ( 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ) ) → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ≤ π ↔ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ≤ ( π / 2 ) ) ) |
62 |
48 29 33 34 61
|
syl112anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) ≤ π ↔ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ≤ ( π / 2 ) ) ) |
63 |
60 62
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ≤ ( π / 2 ) ) |
64 |
|
pirp |
⊢ π ∈ ℝ+ |
65 |
|
rphalflt |
⊢ ( π ∈ ℝ+ → ( π / 2 ) < π ) |
66 |
64 65
|
mp1i |
⊢ ( 𝜑 → ( π / 2 ) < π ) |
67 |
49 57 29 63 66
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) < π ) |
68 |
|
elioo2 |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ) → ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) < π ) ) ) |
69 |
40 41 68
|
mp2an |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ↔ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∧ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) < π ) ) |
70 |
49 55 67 69
|
syl3anbrc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) ) |
71 |
|
sinq12gt0 |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ∈ ( 0 (,) π ) → 0 < ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) |
72 |
70 71
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 0 < ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) |
73 |
50 72
|
elrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ∈ ℝ+ ) |
74 |
47 73
|
rpmulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
75 |
|
rpmulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ+ ∧ ( ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ∈ ℝ+ ) → ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
76 |
16 74 75
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( sin ‘ ( ( 𝐵 + 𝐴 ) / 2 ) ) · ( sin ‘ ( ( 𝐵 − 𝐴 ) / 2 ) ) ) ) ∈ ℝ+ ) |
77 |
15 76
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( cos ‘ 𝐴 ) − ( cos ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ+ ) |
78 |
8
|
recoscld |
⊢ ( 𝜑 → ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
79 |
12
|
recoscld |
⊢ ( 𝜑 → ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
80 |
|
difrp |
⊢ ( ( ( cos ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( cos ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) → ( ( cos ‘ 𝐵 ) < ( cos ‘ 𝐴 ) ↔ ( ( cos ‘ 𝐴 ) − ( cos ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ+ ) ) |
81 |
78 79 80
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( cos ‘ 𝐵 ) < ( cos ‘ 𝐴 ) ↔ ( ( cos ‘ 𝐴 ) − ( cos ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ+ ) ) |
82 |
77 81
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ( cos ‘ 𝐵 ) < ( cos ‘ 𝐴 ) ) |