Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dirge.1 |
⊢ 𝑋 = dom 𝑅 |
2 |
|
dirdm |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → dom 𝑅 = ∪ ∪ 𝑅 ) |
3 |
1 2
|
syl5eq |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → 𝑋 = ∪ ∪ 𝑅 ) |
4 |
3
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( 𝐴 ∈ 𝑋 ↔ 𝐴 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ) ) |
5 |
3
|
eleq2d |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( 𝐵 ∈ 𝑋 ↔ 𝐵 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ) ) |
6 |
4 5
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ↔ ( 𝐴 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ) ) ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ∪ ∪ 𝑅 = ∪ ∪ 𝑅 |
8 |
7
|
isdir |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( 𝑅 ∈ DirRel ↔ ( ( Rel 𝑅 ∧ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ( ∪ ∪ 𝑅 × ∪ ∪ 𝑅 ) ⊆ ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) ) ) ) ) |
9 |
8
|
ibi |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( Rel 𝑅 ∧ ( I ↾ ∪ ∪ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ) ∧ ( ( 𝑅 ∘ 𝑅 ) ⊆ 𝑅 ∧ ( ∪ ∪ 𝑅 × ∪ ∪ 𝑅 ) ⊆ ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) ) ) ) |
10 |
9
|
simprrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ∪ ∪ 𝑅 × ∪ ∪ 𝑅 ) ⊆ ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) ) |
11 |
|
codir |
⊢ ( ( ∪ ∪ 𝑅 × ∪ ∪ 𝑅 ) ⊆ ( ◡ 𝑅 ∘ 𝑅 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∀ 𝑧 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∃ 𝑥 ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ) |
12 |
10 11
|
sylib |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ∀ 𝑦 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∀ 𝑧 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∃ 𝑥 ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ) |
13 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 𝐴 𝑅 𝑥 ) ) |
14 |
13
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ) ) |
15 |
14
|
exbidv |
⊢ ( 𝑦 = 𝐴 → ( ∃ 𝑥 ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ) ) |
16 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( 𝑧 𝑅 𝑥 ↔ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) |
17 |
16
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ↔ ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
18 |
17
|
exbidv |
⊢ ( 𝑧 = 𝐵 → ( ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
19 |
15 18
|
rspc2v |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∀ 𝑧 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∃ 𝑥 ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑧 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
20 |
12 19
|
syl5com |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( 𝐴 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ ∪ ∪ 𝑅 ) → ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
21 |
6 20
|
sylbid |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
22 |
|
reldir |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → Rel 𝑅 ) |
23 |
|
relelrn |
⊢ ( ( Rel 𝑅 ∧ 𝐴 𝑅 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ran 𝑅 ) |
24 |
22 23
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ DirRel ∧ 𝐴 𝑅 𝑥 ) → 𝑥 ∈ ran 𝑅 ) |
25 |
24
|
ex |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( 𝐴 𝑅 𝑥 → 𝑥 ∈ ran 𝑅 ) ) |
26 |
|
ssun2 |
⊢ ran 𝑅 ⊆ ( dom 𝑅 ∪ ran 𝑅 ) |
27 |
|
dmrnssfld |
⊢ ( dom 𝑅 ∪ ran 𝑅 ) ⊆ ∪ ∪ 𝑅 |
28 |
26 27
|
sstri |
⊢ ran 𝑅 ⊆ ∪ ∪ 𝑅 |
29 |
28 3
|
sseqtrrid |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ran 𝑅 ⊆ 𝑋 ) |
30 |
29
|
sseld |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( 𝑥 ∈ ran 𝑅 → 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) |
31 |
25 30
|
syld |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( 𝐴 𝑅 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) |
32 |
31
|
adantrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) ) |
33 |
32
|
ancrd |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) → ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) ) |
34 |
33
|
eximdv |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) ) |
35 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
36 |
34 35
|
syl6ibr |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
37 |
21 36
|
syld |
⊢ ( 𝑅 ∈ DirRel → ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) ) |
38 |
37
|
3impib |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ DirRel ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) |