Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elntg.1 |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) |
2 |
|
elntg.2 |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) |
3 |
|
lngid |
⊢ LineG = Slot ( LineG ‘ ndx ) |
4 |
|
fvex |
⊢ ( EEG ‘ 𝑁 ) ∈ V |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) ∈ V ) |
6 |
|
eengstr |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) Struct 〈 1 , ; 1 7 〉 ) |
7 |
|
structn0fun |
⊢ ( ( EEG ‘ 𝑁 ) Struct 〈 1 , ; 1 7 〉 → Fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) ) |
9 |
|
structcnvcnv |
⊢ ( ( EEG ‘ 𝑁 ) Struct 〈 1 , ; 1 7 〉 → ◡ ◡ ( EEG ‘ 𝑁 ) = ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) ) |
10 |
6 9
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ◡ ◡ ( EEG ‘ 𝑁 ) = ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) ) |
11 |
10
|
funeqd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Fun ◡ ◡ ( EEG ‘ 𝑁 ) ↔ Fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) ) ) |
12 |
8 11
|
mpbird |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → Fun ◡ ◡ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) |
13 |
|
opex |
⊢ 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 ∈ V |
14 |
13
|
prid2 |
⊢ 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 ∈ { 〈 ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) 〉 , 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 } |
15 |
|
elun2 |
⊢ ( 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 ∈ { 〈 ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) 〉 , 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 } → 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 ∈ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑦 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) 〉 } ∪ { 〈 ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) 〉 , 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 } ) ) |
16 |
14 15
|
ax-mp |
⊢ 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 ∈ ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑦 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) 〉 } ∪ { 〈 ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) 〉 , 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 } ) |
17 |
|
eengv |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) = ( { 〈 ( Base ‘ ndx ) , ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) 〉 , 〈 ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑥 ‘ 𝑖 ) − ( 𝑦 ‘ 𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) 〉 } ∪ { 〈 ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 } ) 〉 , 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 } ) ) |
18 |
16 17
|
eleqtrrid |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 〈 ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) 〉 ∈ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) |
19 |
|
fvex |
⊢ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∈ V |
20 |
19
|
difexi |
⊢ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ∈ V |
21 |
19 20
|
mpoex |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) ∈ V |
22 |
21
|
a1i |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) ∈ V ) |
23 |
3 5 12 18 22
|
strfv2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) = ( LineG ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) ) |
24 |
|
eengbas |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = ( Base ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) ) |
25 |
24 1
|
eqtr4di |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = 𝑃 ) |
26 |
25
|
difeq1d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) = ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) = ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ) |
28 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = 𝑃 ) |
29 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
30 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
31 |
29 25
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = 𝑃 ) |
32 |
30 31
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
33 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) |
34 |
33
|
eldifad |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
35 |
34 31
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
36 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
37 |
36 31
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
38 |
29 1 2 32 35 37
|
ebtwntg |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) ) |
39 |
29 1 2 37 35 32
|
ebtwntg |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) ) |
40 |
29 1 2 32 37 35
|
ebtwntg |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ↔ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) |
41 |
38 39 40
|
3orbi123d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) ) |
42 |
28 41
|
rabeqbidva |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) → { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } = { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } ) |
43 |
25 27 42
|
mpoeq123dva |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∨ 𝑥 Btwn 〈 𝑧 , 𝑦 〉 ∨ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) } ) = ( 𝑥 ∈ 𝑃 , 𝑦 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } ) ) |
44 |
23 43
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( LineG ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝑃 , 𝑦 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } ) ) |