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Theorem elntg

Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2019)

Ref Expression
Hypotheses elntg.1 𝑃 = ( Base ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) )
elntg.2 𝐼 = ( Itv ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) )
Assertion elntg ( 𝑁 ∈ ℕ → ( LineG ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑥𝑃 , 𝑦 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elntg.1 𝑃 = ( Base ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) )
2 elntg.2 𝐼 = ( Itv ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) )
3 lngid LineG = Slot ( LineG ‘ ndx )
4 fvex ( EEG ‘ 𝑁 ) ∈ V
5 4 a1i ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) ∈ V )
6 eengstr ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) Struct ⟨ 1 , 1 7 ⟩ )
7 structn0fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) Struct ⟨ 1 , 1 7 ⟩ → Fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) )
8 6 7 syl ( 𝑁 ∈ ℕ → Fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) )
9 structcnvcnv ( ( EEG ‘ 𝑁 ) Struct ⟨ 1 , 1 7 ⟩ → ( EEG ‘ 𝑁 ) = ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) )
10 6 9 syl ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) = ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) )
11 10 funeqd ( 𝑁 ∈ ℕ → ( Fun ( EEG ‘ 𝑁 ) ↔ Fun ( ( EEG ‘ 𝑁 ) ∖ { ∅ } ) ) )
12 8 11 mpbird ( 𝑁 ∈ ℕ → Fun ( EEG ‘ 𝑁 ) )
13 opex ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ ∈ V
14 13 prid2 ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ ∈ { ⟨ ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ } ) ⟩ , ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ }
15 elun2 ( ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ ∈ { ⟨ ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ } ) ⟩ , ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ } → ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ ∈ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑥𝑖 ) − ( 𝑦𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ } ) ⟩ , ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ } ) )
16 14 15 ax-mp ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ ∈ ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑥𝑖 ) − ( 𝑦𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ } ) ⟩ , ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ } )
17 eengv ( 𝑁 ∈ ℕ → ( EEG ‘ 𝑁 ) = ( { ⟨ ( Base ‘ ndx ) , ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ⟩ , ⟨ ( dist ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ Σ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝑥𝑖 ) − ( 𝑦𝑖 ) ) ↑ 2 ) ) ⟩ } ∪ { ⟨ ( Itv ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ } ) ⟩ , ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ } ) )
18 16 17 eleqtrrid ( 𝑁 ∈ ℕ → ⟨ ( LineG ‘ ndx ) , ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ⟩ ∈ ( EEG ‘ 𝑁 ) )
19 fvex ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∈ V
20 19 difexi ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ∈ V
21 19 20 mpoex ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ∈ V
22 21 a1i ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) ∈ V )
23 3 5 12 18 22 strfv2d ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) = ( LineG ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) )
24 eengbas ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = ( Base ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) )
25 24 1 eqtr4di ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = 𝑃 )
26 25 difeq1d ( 𝑁 ∈ ℕ → ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) = ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) )
27 26 adantr ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) = ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) )
28 25 adantr ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = 𝑃 )
29 simpll ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
30 simplrl ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
31 29 25 syl ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) = 𝑃 )
32 30 31 eleqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑥𝑃 )
33 simplrr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) )
34 33 eldifad ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
35 34 31 eleqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑦𝑃 )
36 simpr ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
37 36 31 eleqtrd ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑧𝑃 )
38 29 1 2 32 35 37 ebtwntg ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ↔ 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ) )
39 29 1 2 37 35 32 ebtwntg ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ) )
40 29 1 2 32 37 35 ebtwntg ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ↔ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) )
41 38 39 40 3orbi123d ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) ↔ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) ) )
42 28 41 rabeqbidva ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ) ) → { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } = { 𝑧𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } )
43 25 27 42 mpoeq123dva ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) , 𝑦 ∈ ( ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∣ ( 𝑧 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨ 𝑧 , 𝑦 ⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨ 𝑥 , 𝑧 ⟩ ) } ) = ( 𝑥𝑃 , 𝑦 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } ) )
44 23 43 eqtr3d ( 𝑁 ∈ ℕ → ( LineG ‘ ( EEG ‘ 𝑁 ) ) = ( 𝑥𝑃 , 𝑦 ∈ ( 𝑃 ∖ { 𝑥 } ) ↦ { 𝑧𝑃 ∣ ( 𝑧 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑥 ∈ ( 𝑧 𝐼 𝑦 ) ∨ 𝑦 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) } ) )