Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1nn |
⊢ 1 ∈ ℕ |
2 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
3 |
|
lttr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵 ) → 𝐴 < 𝐵 ) ) |
4 |
2 3
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵 ) → 𝐴 < 𝐵 ) ) |
5 |
4
|
exp4b |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐴 < 1 → ( 1 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐵 ) ) ) ) |
6 |
5
|
com34 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 < 𝐵 → ( 𝐴 < 1 → 𝐴 < 𝐵 ) ) ) ) |
7 |
6
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ∧ 𝐴 < 1 ) → 𝐴 < 𝐵 ) |
8 |
|
recn |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ ) |
9 |
|
exp1 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( 𝐵 ↑ 1 ) = 𝐵 ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐵 ↑ 1 ) = 𝐵 ) |
11 |
10
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → ( 𝐵 ↑ 1 ) = 𝐵 ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ∧ 𝐴 < 1 ) → ( 𝐵 ↑ 1 ) = 𝐵 ) |
13 |
7 12
|
breqtrrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ∧ 𝐴 < 1 ) → 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 1 ) ) |
14 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) = ( 𝐵 ↑ 1 ) ) |
15 |
14
|
breq2d |
⊢ ( 𝑘 = 1 → ( 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ↔ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 1 ) ) ) |
16 |
15
|
rspcev |
⊢ ( ( 1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 1 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) |
17 |
1 13 16
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ∧ 𝐴 < 1 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) |
18 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ) |
20 |
|
peano2rem |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ) |
23 |
|
posdif |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 1 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) ) |
24 |
2 23
|
mpan |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 < 𝐵 ↔ 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) ) |
25 |
24
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) |
26 |
25
|
gt0ne0d |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → ( 𝐵 − 1 ) ≠ 0 ) |
27 |
26
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 1 ) ≠ 0 ) |
28 |
19 22 27
|
redivcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
29 |
28
|
adantll |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
30 |
18
|
adantl |
⊢ ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ) |
31 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 𝐴 − 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐴 ) ) |
32 |
2 31
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 0 ≤ ( 𝐴 − 1 ) ↔ 1 ≤ 𝐴 ) ) |
33 |
32
|
biimparc |
⊢ ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → 0 ≤ ( 𝐴 − 1 ) ) |
34 |
30 33
|
jca |
⊢ ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐴 − 1 ) ) ) |
35 |
21 25
|
jca |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → ( ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) ) |
36 |
|
divge0 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( 𝐴 − 1 ) ) ∧ ( ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) |
37 |
34 35 36
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 0 ≤ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) |
38 |
|
flge0nn0 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) |
39 |
29 37 38
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 ) |
40 |
|
nn0p1nn |
⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
41 |
39 40
|
syl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ ) |
42 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
43 |
21
|
adantl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ) |
44 |
|
peano2nn0 |
⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) ∈ ℕ0 → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
45 |
39 44
|
syl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
46 |
45
|
nn0red |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
47 |
43 46
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
48 |
|
peano2re |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ → ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
49 |
47 48
|
syl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
50 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ ) |
51 |
|
reexpcl |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
52 |
50 45 51
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) |
53 |
|
flltp1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ∈ ℝ → ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) |
54 |
29 53
|
syl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) |
55 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ) |
56 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) |
57 |
|
ltdivmul |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 1 ) ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐵 − 1 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( 𝐵 − 1 ) ) ) → ( ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ↔ ( 𝐴 − 1 ) < ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
58 |
55 46 43 56 57
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) < ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ↔ ( 𝐴 − 1 ) < ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
59 |
54 58
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( 𝐴 − 1 ) < ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) |
60 |
|
ltsubadd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 1 ) < ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ↔ 𝐴 < ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) |
61 |
2 60
|
mp3an2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − 1 ) < ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ↔ 𝐴 < ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) |
62 |
42 47 61
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 − 1 ) < ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ↔ 𝐴 < ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) ) |
63 |
59 62
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ) |
64 |
|
0lt1 |
⊢ 0 < 1 |
65 |
|
0re |
⊢ 0 ∈ ℝ |
66 |
|
lttr |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( ( 0 < 1 ∧ 1 < 𝐵 ) → 0 < 𝐵 ) ) |
67 |
65 2 66
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( ( 0 < 1 ∧ 1 < 𝐵 ) → 0 < 𝐵 ) ) |
68 |
64 67
|
mpani |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 < 𝐵 → 0 < 𝐵 ) ) |
69 |
|
ltle |
⊢ ( ( 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵 ) ) |
70 |
65 69
|
mpan |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 0 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵 ) ) |
71 |
68 70
|
syld |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 < 𝐵 → 0 ≤ 𝐵 ) ) |
72 |
71
|
imp |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → 0 ≤ 𝐵 ) |
73 |
72
|
adantl |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 0 ≤ 𝐵 ) |
74 |
|
bernneq2 |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐵 ) → ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ≤ ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) |
75 |
50 45 73 74
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐵 − 1 ) · ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) + 1 ) ≤ ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) |
76 |
42 49 52 63 75
|
ltletrd |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → 𝐴 < ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) |
77 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) → ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) = ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) |
78 |
77
|
breq2d |
⊢ ( 𝑘 = ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) → ( 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ↔ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) ) |
79 |
78
|
rspcev |
⊢ ( ( ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ∈ ℕ ∧ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ ( ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − 1 ) / ( 𝐵 − 1 ) ) ) + 1 ) ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) |
80 |
41 76 79
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 1 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) |
81 |
80
|
exp43 |
⊢ ( 1 ≤ 𝐴 → ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 < 𝐵 → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
82 |
81
|
com4l |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → ( 𝐵 ∈ ℝ → ( 1 < 𝐵 → ( 1 ≤ 𝐴 → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
3imp1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) |
84 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
85 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → 1 ∈ ℝ ) |
86 |
17 83 84 85
|
ltlecasei |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵 ) → ∃ 𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < ( 𝐵 ↑ 𝑘 ) ) |