Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
extwwlkfab.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
extwwlkfab.c |
⊢ 𝐶 = ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) |
3 |
|
extwwlkfab.f |
⊢ 𝐹 = ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) |
4 |
|
uzuzle23 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
5 |
2
|
2clwwlk |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑋 𝐶 𝑁 ) = { 𝑤 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } ) |
6 |
4 5
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑋 𝐶 𝑁 ) = { 𝑤 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } ) |
7 |
6
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑋 𝐶 𝑁 ) = { 𝑤 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } ) |
8 |
|
clwwlknon |
⊢ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 } |
9 |
8
|
rabeqi |
⊢ { 𝑤 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } = { 𝑤 ∈ { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 } ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } |
10 |
|
rabrab |
⊢ { 𝑤 ∈ { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 } ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) } |
11 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) |
12 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) |
14 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) |
15 |
14
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → 𝑋 = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) |
16 |
13 15
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) |
18 |
|
clwwnrepclwwn |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) → ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ) |
19 |
11 12 17 18
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ) |
20 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) |
21 |
19 20
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) |
22 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝐺 ∈ USGraph ) |
23 |
22
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ) |
25 |
|
clwwlknlbonbgr1 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx ( 𝑤 ‘ 0 ) ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx ( 𝑤 ‘ 0 ) ) ) |
27 |
|
oveq2 |
⊢ ( 𝑋 = ( 𝑤 ‘ 0 ) → ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) = ( 𝐺 NeighbVtx ( 𝑤 ‘ 0 ) ) ) |
28 |
27
|
eqcoms |
⊢ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 → ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) = ( 𝐺 NeighbVtx ( 𝑤 ‘ 0 ) ) ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) = ( 𝐺 NeighbVtx ( 𝑤 ‘ 0 ) ) ) |
30 |
29
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) = ( 𝐺 NeighbVtx ( 𝑤 ‘ 0 ) ) ) |
31 |
26 30
|
eleqtrrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ) |
32 |
13
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) |
33 |
21 31 32
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) ∧ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) |
34 |
33
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
35 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) → ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) |
36 |
35
|
anim1i |
⊢ ( ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) |
37 |
36
|
3adant2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) → ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) |
38 |
34 37
|
impbid1 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
39 |
|
2clwwlklem |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) |
40 |
39
|
3ad2antr3 |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) |
41 |
40
|
ancoms |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = ( 𝑤 ‘ 0 ) ) |
42 |
41
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( 𝑤 ‘ 0 ) = ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) ) |
43 |
42
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) |
44 |
43
|
anbi2d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ) |
45 |
44
|
3anbi1d |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
46 |
3
|
eleq2i |
⊢ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ↔ ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) |
47 |
|
isclwwlknon |
⊢ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) |
48 |
47
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ) |
49 |
46 48
|
syl5bb |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ) ) |
50 |
49
|
3anbi1d |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ↔ ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
51 |
50
|
bicomd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
52 |
51
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ ( ( 𝑁 − 2 ) ClWWalksN 𝐺 ) ∧ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ‘ 0 ) = 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
53 |
38 45 52
|
3bitrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ∧ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ) → ( ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ↔ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) ) ) |
54 |
53
|
rabbidva |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) } = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) } ) |
55 |
10 54
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → { 𝑤 ∈ { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑋 } ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) } ) |
56 |
9 55
|
syl5eq |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → { 𝑤 ∈ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 } = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) } ) |
57 |
7 56
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑋 𝐶 𝑁 ) = { 𝑤 ∈ ( 𝑁 ClWWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 prefix ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ 𝐹 ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ( 𝐺 NeighbVtx 𝑋 ) ∧ ( 𝑤 ‘ ( 𝑁 − 2 ) ) = 𝑋 ) } ) |