Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fourierdlem35.a |
โข ( ๐ โ ๐ด โ โ ) |
2 |
|
fourierdlem35.b |
โข ( ๐ โ ๐ต โ โ ) |
3 |
|
fourierdlem35.altb |
โข ( ๐ โ ๐ด < ๐ต ) |
4 |
|
fourierdlem35.t |
โข ๐ = ( ๐ต โ ๐ด ) |
5 |
|
fourierdlem35.5 |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
6 |
|
fourierdlem35.i |
โข ( ๐ โ ๐ผ โ โค ) |
7 |
|
fourierdlem35.j |
โข ( ๐ โ ๐ฝ โ โค ) |
8 |
|
fourierdlem35.iel |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด (,] ๐ต ) ) |
9 |
|
fourierdlem35.jel |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด (,] ๐ต ) ) |
10 |
|
neqne |
โข ( ยฌ ๐ผ = ๐ฝ โ ๐ผ โ ๐ฝ ) |
11 |
1
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ด โ โ ) |
12 |
2
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ต โ โ ) |
13 |
3
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ด < ๐ต ) |
14 |
5
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ โ โ ) |
15 |
6
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ผ โ โค ) |
16 |
7
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ฝ โ โค ) |
17 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ผ < ๐ฝ ) |
18 |
|
iocssicc |
โข ( ๐ด (,] ๐ต ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) |
19 |
18 8
|
sselid |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) ) |
20 |
19
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) ) |
21 |
18 9
|
sselid |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) ) |
22 |
21
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) ) |
23 |
11 12 13 4 14 15 16 17 20 22
|
fourierdlem6 |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) |
24 |
23
|
orcd |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
25 |
24
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ๐ผ < ๐ฝ ) โ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
26 |
|
simpll |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ ) |
27 |
7
|
zred |
โข ( ๐ โ ๐ฝ โ โ ) |
28 |
26 27
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ฝ โ โ ) |
29 |
6
|
zred |
โข ( ๐ โ ๐ผ โ โ ) |
30 |
26 29
|
syl |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ผ โ โ ) |
31 |
|
id |
โข ( ๐ผ โ ๐ฝ โ ๐ผ โ ๐ฝ ) |
32 |
31
|
necomd |
โข ( ๐ผ โ ๐ฝ โ ๐ฝ โ ๐ผ ) |
33 |
32
|
ad2antlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ฝ โ ๐ผ ) |
34 |
|
simpr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) |
35 |
28 30 33 34
|
lttri5d |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ๐ฝ < ๐ผ ) |
36 |
1
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ด โ โ ) |
37 |
2
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ต โ โ ) |
38 |
3
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ด < ๐ต ) |
39 |
5
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ โ โ ) |
40 |
7
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ฝ โ โค ) |
41 |
6
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ผ โ โค ) |
42 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ฝ < ๐ผ ) |
43 |
21
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) ) |
44 |
19
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด [,] ๐ต ) ) |
45 |
36 37 38 4 39 40 41 42 43 44
|
fourierdlem6 |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) |
46 |
45
|
olcd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ < ๐ผ ) โ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
47 |
26 35 46
|
syl2anc |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โง ยฌ ๐ผ < ๐ฝ ) โ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
48 |
25 47
|
pm2.61dan |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ โ ๐ฝ ) โ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
49 |
10 48
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ โง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ ) โ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
50 |
1
|
rexrd |
โข ( ๐ โ ๐ด โ โ* ) |
51 |
2
|
rexrd |
โข ( ๐ โ ๐ต โ โ* ) |
52 |
|
iocleub |
โข ( ( ๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด (,] ๐ต ) ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
53 |
50 51 9 52
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
54 |
53
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
55 |
1
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ๐ด โ โ ) |
56 |
2 1
|
resubcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ต โ ๐ด ) โ โ ) |
57 |
4 56
|
eqeltrid |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
58 |
29 57
|
remulcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ผ ยท ๐ ) โ โ ) |
59 |
5 58
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ โ ) |
60 |
59
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ โ ) |
61 |
57
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ๐ โ โ ) |
62 |
|
iocgtlb |
โข ( ( ๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด (,] ๐ต ) ) โ ๐ด < ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) ) |
63 |
50 51 8 62
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ๐ด < ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) ) |
64 |
63
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ๐ด < ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) ) |
65 |
55 60 61 64
|
ltadd1dd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ด + ๐ ) < ( ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) + ๐ ) ) |
66 |
4
|
eqcomi |
โข ( ๐ต โ ๐ด ) = ๐ |
67 |
2
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ต โ โ ) |
68 |
1
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ด โ โ ) |
69 |
57
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
70 |
67 68 69
|
subaddd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ต โ ๐ด ) = ๐ โ ( ๐ด + ๐ ) = ๐ต ) ) |
71 |
66 70
|
mpbii |
โข ( ๐ โ ( ๐ด + ๐ ) = ๐ต ) |
72 |
71
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ๐ต = ( ๐ด + ๐ ) ) |
73 |
72
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ๐ต = ( ๐ด + ๐ ) ) |
74 |
5
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ โ โ ) |
75 |
58
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ผ ยท ๐ ) โ โ ) |
76 |
74 75 69
|
addassd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) + ๐ ) = ( ๐ + ( ( ๐ผ ยท ๐ ) + ๐ ) ) ) |
77 |
76
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) + ๐ ) = ( ๐ + ( ( ๐ผ ยท ๐ ) + ๐ ) ) ) |
78 |
29
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ผ โ โ ) |
79 |
78 69
|
adddirp1d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) = ( ( ๐ผ ยท ๐ ) + ๐ ) ) |
80 |
79
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ผ ยท ๐ ) + ๐ ) = ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) ) |
81 |
80
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ( ๐ผ ยท ๐ ) + ๐ ) ) = ( ๐ + ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) ) ) |
82 |
81
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ( ๐ผ ยท ๐ ) + ๐ ) ) = ( ๐ + ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) ) ) |
83 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โ ( ๐ฝ ยท ๐ ) = ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) ) |
84 |
83
|
eqcomd |
โข ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โ ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) = ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) |
85 |
84
|
oveq2d |
โข ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โ ( ๐ + ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) ) = ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) ) |
86 |
85
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ( ๐ผ + 1 ) ยท ๐ ) ) = ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) ) |
87 |
77 82 86
|
3eqtrrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) = ( ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) + ๐ ) ) |
88 |
65 73 87
|
3brtr4d |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ๐ต < ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) ) |
89 |
2
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ๐ต โ โ ) |
90 |
27 57
|
remulcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ฝ ยท ๐ ) โ โ ) |
91 |
5 90
|
readdcld |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ โ ) |
92 |
91
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ โ ) |
93 |
89 92
|
ltnled |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ( ๐ต < ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ยฌ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) ) |
94 |
88 93
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โง ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) โ ยฌ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
95 |
54 94
|
pm2.65da |
โข ( ๐ โ ยฌ ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) ) |
96 |
|
iocleub |
โข ( ( ๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด (,] ๐ต ) ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
97 |
50 51 8 96
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
98 |
97
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
99 |
1
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ๐ด โ โ ) |
100 |
91
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ โ ) |
101 |
57
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ๐ โ โ ) |
102 |
|
iocgtlb |
โข ( ( ๐ด โ โ* โง ๐ต โ โ* โง ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) โ ( ๐ด (,] ๐ต ) ) โ ๐ด < ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) ) |
103 |
50 51 9 102
|
syl3anc |
โข ( ๐ โ ๐ด < ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) ) |
104 |
103
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ๐ด < ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) ) |
105 |
99 100 101 104
|
ltadd1dd |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ด + ๐ ) < ( ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) + ๐ ) ) |
106 |
72
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ๐ต = ( ๐ด + ๐ ) ) |
107 |
90
|
recnd |
โข ( ๐ โ ( ๐ฝ ยท ๐ ) โ โ ) |
108 |
74 107 69
|
addassd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) + ๐ ) = ( ๐ + ( ( ๐ฝ ยท ๐ ) + ๐ ) ) ) |
109 |
108
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) + ๐ ) = ( ๐ + ( ( ๐ฝ ยท ๐ ) + ๐ ) ) ) |
110 |
27
|
recnd |
โข ( ๐ โ ๐ฝ โ โ ) |
111 |
110 69
|
adddirp1d |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) = ( ( ๐ฝ ยท ๐ ) + ๐ ) ) |
112 |
111
|
eqcomd |
โข ( ๐ โ ( ( ๐ฝ ยท ๐ ) + ๐ ) = ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) ) |
113 |
112
|
oveq2d |
โข ( ๐ โ ( ๐ + ( ( ๐ฝ ยท ๐ ) + ๐ ) ) = ( ๐ + ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) ) ) |
114 |
113
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ( ๐ฝ ยท ๐ ) + ๐ ) ) = ( ๐ + ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) ) ) |
115 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) โ ( ๐ผ ยท ๐ ) = ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) ) |
116 |
115
|
eqcomd |
โข ( ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) โ ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) = ( ๐ผ ยท ๐ ) ) |
117 |
116
|
oveq2d |
โข ( ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) โ ( ๐ + ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) ) = ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) ) |
118 |
117
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ( ๐ฝ + 1 ) ยท ๐ ) ) = ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) ) |
119 |
109 114 118
|
3eqtrrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) = ( ( ๐ + ( ๐ฝ ยท ๐ ) ) + ๐ ) ) |
120 |
105 106 119
|
3brtr4d |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ๐ต < ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) ) |
121 |
2
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ๐ต โ โ ) |
122 |
59
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ โ ) |
123 |
121 122
|
ltnled |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ( ๐ต < ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โ ยฌ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) ) |
124 |
120 123
|
mpbid |
โข ( ( ๐ โง ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ยฌ ( ๐ + ( ๐ผ ยท ๐ ) ) โค ๐ต ) |
125 |
98 124
|
pm2.65da |
โข ( ๐ โ ยฌ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) |
126 |
95 125
|
jca |
โข ( ๐ โ ( ยฌ ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โง ยฌ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
127 |
126
|
adantr |
โข ( ( ๐ โง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ ) โ ( ยฌ ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โง ยฌ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
128 |
|
pm4.56 |
โข ( ( ยฌ ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โง ยฌ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) โ ยฌ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
129 |
127 128
|
sylib |
โข ( ( ๐ โง ยฌ ๐ผ = ๐ฝ ) โ ยฌ ( ๐ฝ = ( ๐ผ + 1 ) โจ ๐ผ = ( ๐ฝ + 1 ) ) ) |
130 |
49 129
|
condan |
โข ( ๐ โ ๐ผ = ๐ฝ ) |