Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
n0 |
⊢ ( 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 ) |
2 |
|
rabeq0 |
⊢ ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } = ∅ ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 ) |
3 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) |
4 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 𝑤 𝑅 𝑥 ) ) |
5 |
4
|
notbid |
⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝑤 𝑅 𝑥 ) ) |
6 |
5
|
cbvralvw |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑥 ) |
7 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑤 𝑅 𝑥 ↔ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) |
8 |
7
|
notbid |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ¬ 𝑤 𝑅 𝑥 ↔ ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) |
9 |
8
|
ralbidv |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑥 ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) |
10 |
6 9
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 ) ) |
11 |
10
|
rspcev |
⊢ ( ( 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
12 |
11
|
ex |
⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
13 |
3 12
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ∀ 𝑤 ∈ 𝐵 ¬ 𝑤 𝑅 𝑧 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
14 |
2 13
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } = ∅ → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
15 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐵 ⊆ 𝐴 ) |
16 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Se 𝐴 ) |
17 |
|
sess2 |
⊢ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵 ) ) |
18 |
15 16 17
|
sylc |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Se 𝐵 ) |
19 |
|
seex |
⊢ ( ( 𝑅 Se 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∈ V ) |
20 |
18 3 19
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∈ V ) |
21 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑅 Fr 𝐴 ) |
22 |
|
ssrab2 |
⊢ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ⊆ 𝐵 |
23 |
22 15
|
sstrid |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ⊆ 𝐴 ) |
24 |
|
fri |
⊢ ( ( ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴 ) ∧ ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ⊆ 𝐴 ∧ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
25 |
24
|
expr |
⊢ ( ( ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∈ V ∧ 𝑅 Fr 𝐴 ) ∧ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ⊆ 𝐴 ) → ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ≠ ∅ → ∃ 𝑥 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
26 |
20 21 23 25
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ≠ ∅ → ∃ 𝑥 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
27 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑥 → ( 𝑤 𝑅 𝑧 ↔ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) |
28 |
27
|
rexrab |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
29 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝑤 𝑅 𝑧 ↔ 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) |
30 |
29
|
ralrab |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑦 𝑅 𝑧 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
31 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
32 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) |
33 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝐵 ⊆ 𝐴 ) |
34 |
33
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝐵 ⊆ 𝐴 ) |
35 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 Po 𝐴 ) |
36 |
35
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑅 Po 𝐴 ) |
37 |
|
poss |
⊢ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 → ( 𝑅 Po 𝐴 → 𝑅 Po 𝐵 ) ) |
38 |
34 36 37
|
sylc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑅 Po 𝐵 ) |
39 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
40 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
41 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) |
42 |
41
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑧 ∈ 𝐵 ) |
43 |
|
potr |
⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) → 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) |
44 |
38 39 40 42 43
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → ( ( 𝑦 𝑅 𝑥 ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) → 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) |
45 |
31 32 44
|
mp2and |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) → 𝑦 𝑅 𝑧 ) |
46 |
45
|
expr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 𝑅 𝑥 → 𝑦 𝑅 𝑧 ) ) |
47 |
46
|
con3d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑧 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
48 |
|
idd |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
49 |
47 48
|
jad |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 𝑅 𝑧 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
50 |
49
|
ralimdva |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑦 𝑅 𝑧 → ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
51 |
30 50
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑧 ) → ( ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
52 |
51
|
expimpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
53 |
52
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑧 ∧ ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
54 |
28 53
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ∀ 𝑦 ∈ { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
55 |
26 54
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( { 𝑤 ∈ 𝐵 ∣ 𝑤 𝑅 𝑧 } ≠ ∅ → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
56 |
14 55
|
pm2.61dne |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
57 |
56
|
expr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
58 |
57
|
exlimdv |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑧 𝑧 ∈ 𝐵 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
59 |
1 58
|
syl5bi |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝐵 ≠ ∅ → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
60 |
59
|
impr |
⊢ ( ( ( 𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴 ) ∧ ( 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |