Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
n0 |
|- ( B =/= (/) <-> E. z z e. B ) |
2 |
|
rabeq0 |
|- ( { w e. B | w R z } = (/) <-> A. w e. B -. w R z ) |
3 |
|
simprr |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> z e. B ) |
4 |
|
breq1 |
|- ( y = w -> ( y R x <-> w R x ) ) |
5 |
4
|
notbid |
|- ( y = w -> ( -. y R x <-> -. w R x ) ) |
6 |
5
|
cbvralvw |
|- ( A. y e. B -. y R x <-> A. w e. B -. w R x ) |
7 |
|
breq2 |
|- ( x = z -> ( w R x <-> w R z ) ) |
8 |
7
|
notbid |
|- ( x = z -> ( -. w R x <-> -. w R z ) ) |
9 |
8
|
ralbidv |
|- ( x = z -> ( A. w e. B -. w R x <-> A. w e. B -. w R z ) ) |
10 |
6 9
|
syl5bb |
|- ( x = z -> ( A. y e. B -. y R x <-> A. w e. B -. w R z ) ) |
11 |
10
|
rspcev |
|- ( ( z e. B /\ A. w e. B -. w R z ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) |
12 |
11
|
ex |
|- ( z e. B -> ( A. w e. B -. w R z -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
13 |
3 12
|
syl |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> ( A. w e. B -. w R z -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
14 |
2 13
|
syl5bi |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> ( { w e. B | w R z } = (/) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
15 |
|
simprl |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> B C_ A ) |
16 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> R Se A ) |
17 |
|
sess2 |
|- ( B C_ A -> ( R Se A -> R Se B ) ) |
18 |
15 16 17
|
sylc |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> R Se B ) |
19 |
|
seex |
|- ( ( R Se B /\ z e. B ) -> { w e. B | w R z } e. _V ) |
20 |
18 3 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> { w e. B | w R z } e. _V ) |
21 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> R Fr A ) |
22 |
|
ssrab2 |
|- { w e. B | w R z } C_ B |
23 |
22 15
|
sstrid |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> { w e. B | w R z } C_ A ) |
24 |
|
fri |
|- ( ( ( { w e. B | w R z } e. _V /\ R Fr A ) /\ ( { w e. B | w R z } C_ A /\ { w e. B | w R z } =/= (/) ) ) -> E. x e. { w e. B | w R z } A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x ) |
25 |
24
|
expr |
|- ( ( ( { w e. B | w R z } e. _V /\ R Fr A ) /\ { w e. B | w R z } C_ A ) -> ( { w e. B | w R z } =/= (/) -> E. x e. { w e. B | w R z } A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x ) ) |
26 |
20 21 23 25
|
syl21anc |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> ( { w e. B | w R z } =/= (/) -> E. x e. { w e. B | w R z } A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x ) ) |
27 |
|
breq1 |
|- ( w = x -> ( w R z <-> x R z ) ) |
28 |
27
|
rexrab |
|- ( E. x e. { w e. B | w R z } A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x <-> E. x e. B ( x R z /\ A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x ) ) |
29 |
|
breq1 |
|- ( w = y -> ( w R z <-> y R z ) ) |
30 |
29
|
ralrab |
|- ( A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x <-> A. y e. B ( y R z -> -. y R x ) ) |
31 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> y R x ) |
32 |
|
simplr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> x R z ) |
33 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) -> B C_ A ) |
34 |
33
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> B C_ A ) |
35 |
|
simpll2 |
|- ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) -> R Po A ) |
36 |
35
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> R Po A ) |
37 |
|
poss |
|- ( B C_ A -> ( R Po A -> R Po B ) ) |
38 |
34 36 37
|
sylc |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> R Po B ) |
39 |
|
simprl |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> y e. B ) |
40 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> x e. B ) |
41 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) -> z e. B ) |
42 |
41
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> z e. B ) |
43 |
|
potr |
|- ( ( R Po B /\ ( y e. B /\ x e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y R x /\ x R z ) -> y R z ) ) |
44 |
38 39 40 42 43
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> ( ( y R x /\ x R z ) -> y R z ) ) |
45 |
31 32 44
|
mp2and |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ ( y e. B /\ y R x ) ) -> y R z ) |
46 |
45
|
expr |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ y e. B ) -> ( y R x -> y R z ) ) |
47 |
46
|
con3d |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ y e. B ) -> ( -. y R z -> -. y R x ) ) |
48 |
|
idd |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ y e. B ) -> ( -. y R x -> -. y R x ) ) |
49 |
47 48
|
jad |
|- ( ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) /\ y e. B ) -> ( ( y R z -> -. y R x ) -> -. y R x ) ) |
50 |
49
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) -> ( A. y e. B ( y R z -> -. y R x ) -> A. y e. B -. y R x ) ) |
51 |
30 50
|
syl5bi |
|- ( ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) /\ x R z ) -> ( A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x -> A. y e. B -. y R x ) ) |
52 |
51
|
expimpd |
|- ( ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) /\ x e. B ) -> ( ( x R z /\ A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x ) -> A. y e. B -. y R x ) ) |
53 |
52
|
reximdva |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> ( E. x e. B ( x R z /\ A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
54 |
28 53
|
syl5bi |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> ( E. x e. { w e. B | w R z } A. y e. { w e. B | w R z } -. y R x -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
55 |
26 54
|
syld |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> ( { w e. B | w R z } =/= (/) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
56 |
14 55
|
pm2.61dne |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ z e. B ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) |
57 |
56
|
expr |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ B C_ A ) -> ( z e. B -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
58 |
57
|
exlimdv |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ B C_ A ) -> ( E. z z e. B -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
59 |
1 58
|
syl5bi |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ B C_ A ) -> ( B =/= (/) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) ) |
60 |
59
|
impr |
|- ( ( ( R Fr A /\ R Po A /\ R Se A ) /\ ( B C_ A /\ B =/= (/) ) ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) |