Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑝 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) |
2 |
1
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑝 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
3 |
2
|
2exbidv |
⊢ ( 𝑝 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
4 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑝 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 → ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) |
5 |
4
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑝 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 → ( ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
6 |
5
|
2exbidv |
⊢ ( 𝑝 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
7 |
3 6
|
reuop |
⊢ ( ∃! 𝑝 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) ) |
8 |
|
nfich1 |
⊢ Ⅎ 𝑎 [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 |
9 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑎 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
10 |
8 9
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑎 ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) |
11 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑎 𝑋 |
12 |
|
nfe1 |
⊢ Ⅎ 𝑎 ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) |
13 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑎 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 |
14 |
12 13
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑎 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
15 |
11 14
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑎 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
16 |
11 15
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑎 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
17 |
|
nfe1 |
⊢ Ⅎ 𝑎 ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) |
18 |
16 17
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑎 ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) |
19 |
|
nfich2 |
⊢ Ⅎ 𝑏 [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 |
20 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑏 ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
21 |
19 20
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑏 ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) |
22 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑏 𝑋 |
23 |
|
nfe1 |
⊢ Ⅎ 𝑏 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) |
24 |
23
|
nfex |
⊢ Ⅎ 𝑏 ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) |
25 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑏 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 |
26 |
24 25
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑏 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
27 |
22 26
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑏 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
28 |
22 27
|
nfralw |
⊢ Ⅎ 𝑏 ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
29 |
|
nfe1 |
⊢ Ⅎ 𝑏 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) |
30 |
29
|
nfex |
⊢ Ⅎ 𝑏 ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) |
31 |
28 30
|
nfim |
⊢ Ⅎ 𝑏 ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) |
32 |
|
opeq12 |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) |
33 |
32
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥 ) → ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ) ) |
34 |
33
|
anbi1d |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥 ) → ( ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
35 |
34
|
2exbidv |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥 ) → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
36 |
32
|
eqeq1d |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥 ) → ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
37 |
35 36
|
imbi12d |
⊢ ( ( 𝑣 = 𝑦 ∧ 𝑤 = 𝑥 ) → ( ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ↔ ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) ) |
38 |
37
|
rspc2gv |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) ) |
39 |
38
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) ) |
40 |
39
|
adantl |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) ) |
41 |
|
simprr |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
42 |
41
|
adantr |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑋 ) |
43 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
44 |
43
|
adantl |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
45 |
44
|
adantr |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑋 ) |
46 |
|
eqidd |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) |
47 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
48 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
49 |
47 48
|
opth |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) |
50 |
|
sbceq1a |
⊢ ( 𝑏 = 𝑦 → ( 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
51 |
50
|
equcoms |
⊢ ( 𝑦 = 𝑏 → ( 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
52 |
|
sbceq1a |
⊢ ( 𝑎 = 𝑥 → ( [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
53 |
52
|
equcoms |
⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
54 |
51 53
|
sylan9bbr |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
55 |
|
dfich2 |
⊢ ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
56 |
|
2sp |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) → ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
57 |
|
sbsbc |
⊢ ( [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
58 |
57
|
sbbii |
⊢ ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
59 |
|
sbsbc |
⊢ ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
60 |
58 59
|
bitri |
⊢ ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
61 |
|
sbsbc |
⊢ ( [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
62 |
61
|
sbbii |
⊢ ( [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
63 |
|
sbsbc |
⊢ ( [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
64 |
62 63
|
bitri |
⊢ ( [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
65 |
56 60 64
|
3bitr3g |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) → ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
66 |
55 65
|
sylbi |
⊢ ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 → ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
67 |
66
|
biimpd |
⊢ ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 → ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
68 |
67
|
adantr |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
69 |
68
|
com12 |
⊢ ( [ 𝑥 / 𝑎 ] [ 𝑦 / 𝑏 ] 𝜑 → ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
70 |
54 69
|
syl6bi |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( 𝜑 → ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) ) |
71 |
49 70
|
sylbi |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( 𝜑 → ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) ) |
72 |
71
|
imp |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) ) |
73 |
72
|
impcom |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
74 |
|
sbccom |
⊢ ( [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] [ 𝑥 / 𝑏 ] 𝜑 ) |
75 |
73 74
|
sylibr |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
76 |
46 75
|
jca |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∧ [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
77 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑏 𝑥 |
78 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑏 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 |
79 |
|
nfsbc1v |
⊢ Ⅎ 𝑏 [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 |
80 |
78 79
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∧ [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
81 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → 〈 𝑦 , 𝑏 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) |
82 |
81
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ) ) |
83 |
|
sbceq1a |
⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ↔ [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
84 |
82 83
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑏 = 𝑥 → ( ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∧ [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
85 |
77 80 84
|
spcegf |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝑋 → ( ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑥 〉 ∧ [ 𝑥 / 𝑏 ] [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) → ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
86 |
45 76 85
|
sylc |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
87 |
|
nfcv |
⊢ Ⅎ 𝑎 𝑦 |
88 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑎 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 |
89 |
|
nfsbc1v |
⊢ Ⅎ 𝑎 [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 |
90 |
88 89
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑎 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
91 |
90
|
nfex |
⊢ Ⅎ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) |
92 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → 〈 𝑎 , 𝑏 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ) |
93 |
92
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ↔ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ) ) |
94 |
|
sbceq1a |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( 𝜑 ↔ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) |
95 |
93 94
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
96 |
95
|
exbidv |
⊢ ( 𝑎 = 𝑦 → ( ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ↔ ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) ) ) |
97 |
87 91 96
|
spcegf |
⊢ ( 𝑦 ∈ 𝑋 → ( ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑦 , 𝑏 〉 ∧ [ 𝑦 / 𝑎 ] 𝜑 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
98 |
42 86 97
|
sylc |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
99 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑦 = 𝑥 ∧ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) → 𝑦 = 𝑥 ) |
100 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝑦 = 𝑥 ∧ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) → 𝑦 = 𝑏 ) |
101 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → 𝑥 = 𝑎 ) |
102 |
101
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑦 = 𝑥 ∧ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) → 𝑥 = 𝑎 ) |
103 |
99 100 102
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( 𝑦 = 𝑥 ∧ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) → 𝑎 = 𝑏 ) |
104 |
103
|
anim1i |
⊢ ( ( ( 𝑦 = 𝑥 ∧ ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) ) ∧ 𝜑 ) → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) |
105 |
104
|
exp31 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 𝑥 = 𝑎 ∧ 𝑦 = 𝑏 ) → ( 𝜑 → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) ) |
106 |
49 105
|
syl5bi |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 → ( 𝜑 → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) ) |
107 |
106
|
impd |
⊢ ( 𝑦 = 𝑥 → ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
108 |
48 47
|
opth1 |
⊢ ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → 𝑦 = 𝑥 ) |
109 |
107 108
|
syl11 |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
110 |
109
|
adantl |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
111 |
110
|
imp |
⊢ ( ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) |
112 |
111
|
19.8ad |
⊢ ( ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) |
113 |
112
|
19.8ad |
⊢ ( ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) ∧ 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) |
114 |
113
|
ex |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
115 |
98 114
|
embantd |
⊢ ( ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) ∧ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ) → ( ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
116 |
115
|
ex |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑦 , 𝑥 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) ) |
117 |
40 116
|
syl5d |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) ) |
118 |
21 31 117
|
exlimd |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑏 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) ) |
119 |
10 18 118
|
exlimd |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ( ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) ) |
120 |
119
|
impd |
⊢ ( ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
121 |
120
|
rexlimdvva |
⊢ ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 → ( ∃ 𝑥 ∈ 𝑋 ∃ 𝑦 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) ∧ ∀ 𝑣 ∈ 𝑋 ∀ 𝑤 ∈ 𝑋 ( ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |
122 |
7 121
|
syl5bi |
⊢ ( [ 𝑎 ⇄ 𝑏 ] 𝜑 → ( ∃! 𝑝 ∈ ( 𝑋 × 𝑋 ) ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑝 = 〈 𝑎 , 𝑏 〉 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑎 ∃ 𝑏 ( 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝜑 ) ) ) |