Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isinag.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
isinag.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
isinag.k |
⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
isinag.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
5 |
|
isinag.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
6 |
|
isinag.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
7 |
|
isinag.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
inagflat.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
9 |
|
inagswap.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ) |
10 |
|
inaghl.d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
inaghl.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
12 |
|
inaghl.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
13 |
|
inaghl.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐴 ) |
14 |
|
inaghl.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐶 ) |
15 |
|
inaghl.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) |
16 |
1 2 3 10 5 6 8 13
|
hlne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ≠ 𝐵 ) |
17 |
1 2 3 11 7 6 8 14
|
hlne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐵 ) |
18 |
1 2 3 12 4 6 8 15
|
hlne1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ≠ 𝐵 ) |
19 |
16 17 18
|
3jca |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵 ) ) |
20 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
21 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ↔ 𝐵 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) |
22 |
|
eqeq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝑦 = 𝐵 ↔ 𝐵 = 𝐵 ) ) |
23 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ↔ 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) |
24 |
22 23
|
orbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ↔ ( 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
25 |
21 24
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = 𝐵 → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ↔ ( 𝐵 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) ) |
26 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑦 = 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ↔ ( 𝐵 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) ) |
27 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
28 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
29 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
30 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
31 |
1 2 3 10 5 6 8 13
|
hlcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐷 ) |
32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐷 ) |
33 |
|
eqid |
⊢ ( dist ‘ 𝐺 ) = ( dist ‘ 𝐺 ) |
34 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
35 |
1 2 3 11 7 6 8 14
|
hlcomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐹 ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐹 ) |
37 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
38 |
1 33 2 30 27 20 34 37
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) |
39 |
1 2 3 34 29 27 30 20 36 38
|
btwnhl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐹 𝐼 𝐴 ) ) |
40 |
1 33 2 30 29 20 27 39
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐹 ) ) |
41 |
1 2 3 27 28 29 30 20 32 40
|
btwnhl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) |
42 |
|
eqidd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 = 𝐵 ) |
43 |
42
|
orcd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) |
44 |
41 43
|
jca |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝐵 = 𝐵 ∨ 𝐵 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
45 |
20 26 44
|
rspcedvd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
46 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
47 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → 𝑦 = 𝑥 ) |
48 |
47
|
eleq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) |
49 |
47
|
eqeq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑥 = 𝐵 ) ) |
50 |
47
|
breq1d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ↔ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) |
51 |
49 50
|
orbi12d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ↔ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
52 |
48 51
|
anbi12d |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) ∧ 𝑦 = 𝑥 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) ) |
53 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝑥 = 𝐵 ) |
54 |
5
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
55 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
56 |
11
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
57 |
8
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
58 |
6
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
59 |
31
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐷 ) |
60 |
7
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
61 |
35
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐹 ) |
62 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
63 |
1 33 2 57 54 46 60 62
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) |
64 |
53 63
|
eqeltrrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) |
65 |
1 2 3 60 56 54 57 58 61 64
|
btwnhl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ( 𝐹 𝐼 𝐴 ) ) |
66 |
1 33 2 57 56 58 54 65
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐹 ) ) |
67 |
1 2 3 54 55 56 57 58 59 66
|
btwnhl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝐵 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) |
68 |
53 67
|
eqeltrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) |
69 |
53
|
orcd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) |
70 |
68 69
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
71 |
46 52 70
|
rspcedvd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 = 𝐵 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
72 |
8
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
73 |
72
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
74 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
75 |
6
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
76 |
75
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
77 |
7
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
78 |
77
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 ) |
79 |
10
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
80 |
79
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 ) |
81 |
11
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 ) |
82 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
83 |
82
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
84 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ) |
85 |
1 2 3 83 74 76 73 84
|
hlne2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝑧 ≠ 𝐵 ) |
86 |
35
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝐶 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐹 ) |
87 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) |
88 |
1 33 2 73 78 74 80 87
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐶 ) ) |
89 |
1 2 3 73 74 76 78 80 81 85 86 88
|
hlpasch |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) |
90 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) |
91 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
92 |
74
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
93 |
12
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
94 |
73
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
95 |
76
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 ) |
96 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ) |
97 |
1 2 3 92 91 95 94 96
|
hlcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ) |
98 |
82
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
99 |
4
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
100 |
15
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) |
101 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) |
102 |
1 2 3 98 99 95 94 101
|
hlcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑋 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑥 ) |
103 |
1 2 3 93 99 98 94 95 100 102
|
hltr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑥 ) |
104 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) |
105 |
104
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ) |
106 |
1 2 3 93 98 92 94 95 103 105
|
hltr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ) |
107 |
1 2 3 93 92 95 94 106
|
hlcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) |
108 |
1 2 3 91 92 93 94 95 97 107
|
hltr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) |
109 |
108
|
olcd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) |
110 |
90 109
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
111 |
110
|
ex |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) → ( ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) ) |
112 |
111
|
reximdva |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → ( ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑧 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) ) |
113 |
89 112
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
114 |
5
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
115 |
4
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
116 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) |
117 |
1 2 3 82 115 75 72 116
|
hlne1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝑥 ≠ 𝐵 ) |
118 |
31
|
ad4antr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝐴 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐷 ) |
119 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) |
120 |
1 33 2 72 114 82 77 119
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → 𝑥 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) ) |
121 |
1 2 3 72 82 75 114 77 79 117 118 120
|
hlpasch |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐷 ) ) ) |
122 |
113 121
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
123 |
71 122
|
jaodan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
124 |
123
|
anasss |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
125 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
isinag |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”〉 ↔ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ) ) ) ) |
126 |
9 125
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ) ) ) |
127 |
126
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ) ) |
128 |
127
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑋 ) ) ) |
129 |
124 128
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
130 |
45 129
|
pm2.61dan |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) |
131 |
1 2 3 12 10 6 11 8
|
isinag |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐵 𝐹 ”〉 ↔ ( ( 𝐷 ≠ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 𝐵 ) ∧ ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑦 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∧ ( 𝑦 = 𝐵 ∨ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝑌 ) ) ) ) ) |
132 |
19 130 131
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ( inA ‘ 𝐺 ) 〈“ 𝐷 𝐵 𝐹 ”〉 ) |