Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
islpln5.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
islpln5.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
islpln5.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
islpln5.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
islpln5.p |
⊢ 𝑃 = ( LPlanes ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 ) |
7 |
1 2 3 4 6 5
|
islpln3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃ 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
8 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
9 |
|
r19.41v |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
10 |
|
an13 |
⊢ ( ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ) |
11 |
9 10
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ) |
12 |
11
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ) |
13 |
|
ovex |
⊢ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ V |
14 |
|
an12 |
⊢ ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
15 |
|
eleq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( 𝑦 ∈ 𝐵 ↔ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) ) |
16 |
|
breq2 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( 𝑟 ≤ 𝑦 ↔ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) |
17 |
16
|
notbid |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) |
18 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) |
19 |
18
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ↔ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
20 |
17 19
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
21 |
20
|
anbi2d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
22 |
|
3anass |
⊢ ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
23 |
21 22
|
bitr4di |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
24 |
15 23
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
25 |
14 24
|
syl5bb |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
26 |
25
|
rexbidv |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
27 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
28 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
29 |
26 27 28
|
3bitr3g |
⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) → ( ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
30 |
13 29
|
ceqsexv |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
31 |
12 30
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
32 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
33 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑝 ∈ 𝐴 ) |
34 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → 𝑞 ∈ 𝐴 ) |
35 |
1 3 4
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) |
36 |
32 33 34 35
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ) |
37 |
36
|
biantrurd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
38 |
31 37
|
bitr4id |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
39 |
38
|
2rexbidva |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
40 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
41 |
40
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
42 |
|
rexcom4 |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
43 |
41 42
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
44 |
39 43
|
bitr3di |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) ) |
45 |
|
rexcom |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
46 |
45
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
47 |
|
rexcom |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
48 |
46 47
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
49 |
1 3 4 6
|
islln2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) ) |
50 |
49
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
anbi1d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
52 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
53 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
54 |
53
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
55 |
|
an32 |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
56 |
52 54 55
|
3bitr4ri |
⊢ ( ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) |
57 |
51 56
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) ) |
58 |
57
|
rexbidv |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ) ) |
59 |
48 58
|
bitr4id |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
60 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
61 |
59 60
|
bitrdi |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
62 |
61
|
exbidv |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦 ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑦 = ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
63 |
44 62
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
64 |
8 63
|
bitr4id |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑟 ≤ 𝑦 ∧ 𝑋 = ( 𝑦 ∨ 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
65 |
7 64
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∈ 𝑃 ↔ ∃ 𝑝 ∈ 𝐴 ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∧ 𝑋 = ( ( 𝑝 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |