jm2.27

Description: Lemma 2.27 of JonesMatijasevic p. 697; rmY is a diophantine relation. 0 was excluded from the range of B and the lower limit of G was imposed because the source proof does not seem to work otherwise; quite possible I'm just missing something. The source proof uses both i and I; i has been changed to j to avoid collision. This theorem is basically nothing but substitution instances, all the work is done in jm2.27a and jm2.27c . Once Diophantine relations have been defined, the content of the theorem is "rmY is Diophantine". (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014)

		Ref	Expression
	Assertion	jm2.27	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑒 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) )
2		simpl2	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ ℕ )
3		simpl3	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ℕ )
4		simpr	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) )
5		eqid	⊢ ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) = ( 𝐴 X_rm 𝐵 )
6		eqid	⊢ ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) = ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) )
7		eqid	⊢ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) )
8		eqid	⊢ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) )
9		eqid	⊢ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) )
10		eqid	⊢ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 )
11		eqid	⊢ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 )
12		eqid	⊢ ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 )
13	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	jm2.27c	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) ) )
14	13	simpld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ) ) )
15	14	simpld	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ) )
16	14	simprd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ) )
17	13	simprd	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
18		oveq1	⊢ ( 𝑗 = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) → ( 𝑗 + 1 ) = ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) )
19	18	oveq1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) → ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
20	19	eqeq2d	⊢ ( 𝑗 = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) → ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ↔ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ) )
21	20	3anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
22	21	anbi2d	⊢ ( 𝑗 = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) )
23	22	anbi1d	⊢ ( 𝑗 = ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
24	23	rspcev	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) / ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) − 1 ) + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
25	17 24	syl	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
26		eleq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ↔ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) )
27	26	3anbi3d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ) )
28		oveq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑔 ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) )
29	28	oveq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) = ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) )
30	29	oveq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) )
31	30	oveq2d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) )
32	31	eqeq1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ) )
33		oveq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑔 − 𝐴 ) = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) )
34	33	breq2d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ↔ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) )
35	32 34	3anbi13d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
36	27 35	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) )
37		oveq1	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑔 − 1 ) = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) )
38	37	breq2d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ↔ ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ) )
39	38	anbi1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ↔ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ) )
40	39	anbi1d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
41	36 40	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
42	41	rexbidv	⊢ ( 𝑔 = ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
43		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ℎ ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) )
44	43	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) = ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) )
45	44	oveq2d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) )
46	45	eqeq1d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ) )
47	46	3anbi1d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
48	47	anbi2d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) )
49		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ℎ − 𝐶 ) = ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) )
50	49	breq2d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) )
51	50	anbi2d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ↔ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ) )
52		oveq1	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ℎ − 𝐵 ) = ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) )
53	52	breq2d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ↔ ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ) )
54	53	anbi1d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ↔ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) )
55	51 54	anbi12d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
56	48 55	anbi12d	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
57	56	rexbidv	⊢ ( ℎ = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
58		oveq1	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( 𝑖 ↑ 2 ) = ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) )
59	58	oveq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) )
60	59	eqeq1d	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ↔ ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ) )
61	60	3anbi1d	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) )
62	61	anbi2d	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ) )
63	62	anbi1d	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
64	63	rexbidv	⊢ ( 𝑖 = ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
65	42 57 64	rspc3ev	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ) ∧ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ( ( 𝐴 + ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − 𝐴 ) ) ) Y_rm 𝐵 ) − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
66	16 25 65	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
67		oveq1	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( 𝑑 ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) )
68	67	oveq1d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
69	68	eqeq1d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ↔ ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ) )
70	69	3anbi1d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ) )
71	70	anbi1d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ) )
72	71	anbi1d	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
73	72	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
74	73	2rexbidv	⊢ ( 𝑑 = ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
75		oveq1	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑒 ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) )
76	75	oveq2d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) )
77	76	oveq2d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) )
78	77	eqeq1d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ↔ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ) )
79	78	3anbi2d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ) )
80		eqeq1	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ↔ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ) )
81	80	3anbi2d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) )
82	79 81	anbi12d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ) )
83	82	anbi1d	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
84	83	2rexbidv	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
85	84	2rexbidv	⊢ ( 𝑒 = ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
86		oveq1	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑓 ↑ 2 ) = ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) )
87	86	oveq1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) )
88	87	eqeq1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ↔ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ) )
89	88	3anbi2d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ) )
90		breq1	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ↔ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) )
91	90	3anbi3d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ↔ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) )
92	89 91	anbi12d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ) )
93		breq1	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ↔ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) )
94	93	anbi2d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ↔ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ) )
95	94	anbi1d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ↔ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
96	92 95	anbi12d	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
97	96	2rexbidv	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
98	97	2rexbidv	⊢ ( 𝑓 = ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) → ( ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ↔ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
99	74 85 98	rspc3ev	⊢ ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℕ₀ ) ∧ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( ( 𝐴 X_rm 𝐵 ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( 𝐴 Y_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ ( 𝐴 X_rm ( 2 · ( 𝐵 · ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) ) ) ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑒 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
100	15 66 99	syl2anc	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑒 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) )
101	100	ex	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) → ∃ 𝑑 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑒 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )
102		simpll1	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) )
103	102	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) )
104		simpll2	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝐵 ∈ ℕ )
105	104	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝐵 ∈ ℕ )
106		simpll3	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝐶 ∈ ℕ )
107	106	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ ℕ )
108		simplrl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝑑 ∈ ℕ₀ )
109	108	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ℕ₀ )
110		simplrr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝑒 ∈ ℕ₀ )
111	110	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑒 ∈ ℕ₀ )
112		simprl	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝑓 ∈ ℕ₀ )
113	112	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ℕ₀ )
114		simprr	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝑔 ∈ ℕ₀ )
115	114	ad3antrrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ℕ₀ )
116		simprl	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) → ℎ ∈ ℕ₀ )
117	116	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ℎ ∈ ℕ₀ )
118		simprr	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) → 𝑖 ∈ ℕ₀ )
119	118	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑖 ∈ ℕ₀ )
120		simplr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑗 ∈ ℕ₀ )
121		simp2l1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 )
122	121	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 )
123		simp2l2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 )
124	123	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 )
125		simp2l3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) )
126	125	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) )
127		simp2r1	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 )
128	127	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 )
129		simp2r2	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
130	129	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) )
131		simp2r3	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) )
132	131	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) )
133		simp3ll	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) )
134	133	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) )
135		simp3lr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) )
136	135	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) )
137		simp3rl	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) )
138	137	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) )
139		simp3rr	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝐵 ≤ 𝐶 )
140	139	3expb	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝐵 ≤ 𝐶 )
141	103 105 107 109 111 113 115 117 119 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 140	jm2.27b	⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ₀ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) → 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) )
142	141	rexlimdva2	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( ℎ ∈ ℕ₀ ∧ 𝑖 ∈ ℕ₀ ) ) → ( ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) )
143	142	rexlimdvva	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑔 ∈ ℕ₀ ) ) → ( ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) )
144	143	rexlimdvva	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝑑 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑒 ∈ ℕ₀ ) ) → ( ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) )
145	144	rexlimdvva	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) → ( ∃ 𝑑 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑒 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) → 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ) )
146	101 145	impbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ ) → ( 𝐶 = ( 𝐴 Y_rm 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑑 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑒 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑓 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ ℎ ∈ ℕ₀ ∃ 𝑖 ∈ ℕ₀ ∃ 𝑗 ∈ ℕ₀ ( ( ( ( ( 𝑑 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ ( ( 𝑓 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝑒 ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑔 ∈ ( ℤ_≥ ‘ 2 ) ) ∧ ( ( ( 𝑖 ↑ 2 ) − ( ( ( 𝑔 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ℎ ↑ 2 ) ) ) = 1 ∧ 𝑒 = ( ( 𝑗 + 1 ) · ( 2 · ( 𝐶 ↑ 2 ) ) ) ∧ 𝑓 ∥ ( 𝑔 − 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( 𝑔 − 1 ) ∧ 𝑓 ∥ ( ℎ − 𝐶 ) ) ∧ ( ( 2 · 𝐶 ) ∥ ( ℎ − 𝐵 ) ∧ 𝐵 ≤ 𝐶 ) ) ) ) )

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Theorem jm2.27

Proof