Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lcmineqlem3.1 |
⊢ 𝐹 = ∫ ( 0 [,] 1 ) ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( ( 1 − 𝑥 ) ↑ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) d 𝑥 |
2 |
|
lcmineqlem3.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
3 |
|
lcmineqlem3.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ ) |
4 |
|
lcmineqlem3.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁 ) |
5 |
1 2 3 4
|
lcmineqlem2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) d 𝑥 ) ) |
6 |
|
elunitcn |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
7 |
6
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
8 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
9 |
8
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
10 |
|
nnm1nn0 |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℕ → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
11 |
3 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
12 |
11
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
13 |
7 9 12
|
expaddd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) = ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
14 |
13
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) = ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) ) |
15 |
14
|
itgeq2dv |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 = ∫ ( 0 [,] 1 ) ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) d 𝑥 ) |
16 |
15
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 ) = ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) d 𝑥 ) ) |
17 |
16
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( ( 𝑥 ↑ ( 𝑀 − 1 ) ) · ( 𝑥 ↑ 𝑘 ) ) d 𝑥 ) ) |
18 |
|
0red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 0 ∈ ℝ ) |
19 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
20 |
|
0le1 |
⊢ 0 ≤ 1 |
21 |
20
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 0 ≤ 1 ) |
22 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℕ0 ) |
23 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℕ0 ) |
24 |
22 23
|
nn0addcld |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ∈ ℕ0 ) |
25 |
18 19 21 24
|
itgpowd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 = ( ( ( 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) − ( 0 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) ) / ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) ) |
26 |
3
|
nncnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ ) |
27 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
28 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
29 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ ) |
30 |
8 29
|
syl |
⊢ ( 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
31 |
30
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 𝑘 ∈ ℂ ) |
32 |
27 28 31
|
nppcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) = ( 𝑀 + 𝑘 ) ) |
33 |
32
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 1 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) |
34 |
32
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 0 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 0 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) |
35 |
33 34
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) − ( 0 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) − ( 0 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) ) |
36 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → 𝑀 ∈ ℕ ) |
37 |
|
nnnn0addcl |
⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑀 + 𝑘 ) ∈ ℕ ) |
38 |
36 23 37
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑀 + 𝑘 ) ∈ ℕ ) |
39 |
38
|
nnzd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 𝑀 + 𝑘 ) ∈ ℤ ) |
40 |
|
1exp |
⊢ ( ( 𝑀 + 𝑘 ) ∈ ℤ → ( 1 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) = 1 ) |
41 |
39 40
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 1 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) = 1 ) |
42 |
|
0exp |
⊢ ( ( 𝑀 + 𝑘 ) ∈ ℕ → ( 0 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) = 0 ) |
43 |
38 42
|
syl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( 0 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) = 0 ) |
44 |
41 43
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 1 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) − ( 0 ↑ ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) = ( 1 − 0 ) ) |
45 |
35 44
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) − ( 0 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) ) = ( 1 − 0 ) ) |
46 |
|
1m0e1 |
⊢ ( 1 − 0 ) = 1 |
47 |
45 46
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) − ( 0 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) ) = 1 ) |
48 |
47 32
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( ( 1 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) − ( 0 ↑ ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) ) / ( ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) + 1 ) ) = ( 1 / ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) |
49 |
25 48
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 = ( 1 / ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) |
50 |
49
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) → ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 ) = ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ( 1 / ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) ) |
51 |
50
|
sumeq2dv |
⊢ ( 𝜑 → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ∫ ( 0 [,] 1 ) ( 𝑥 ↑ ( ( 𝑀 − 1 ) + 𝑘 ) ) d 𝑥 ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ( 1 / ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) ) |
52 |
5 17 51
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ( ( ( - 1 ↑ 𝑘 ) · ( ( 𝑁 − 𝑀 ) C 𝑘 ) ) · ( 1 / ( 𝑀 + 𝑘 ) ) ) ) |