Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdslmd.1 |
⊢ 𝐴 ∈ Cℋ |
2 |
|
mdslmd.2 |
⊢ 𝐵 ∈ Cℋ |
3 |
|
mdslmd.3 |
⊢ 𝐶 ∈ Cℋ |
4 |
|
mdslmd.4 |
⊢ 𝐷 ∈ Cℋ |
5 |
|
chlej2 |
⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ) |
6 |
5
|
ex |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝐷 ⊆ 𝐴 → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ) ) |
7 |
4 1 6
|
mp3an12 |
⊢ ( 𝑥 ∈ Cℋ → ( 𝐷 ⊆ 𝐴 → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ) ) |
8 |
7
|
impcom |
⊢ ( ( 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ) |
9 |
8
|
ssrind |
⊢ ( ( 𝐷 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
10 |
9
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
11 |
10
|
adantll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
13 |
|
ssin |
⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ↔ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) |
14 |
|
inass |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) = ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) |
15 |
|
mdi |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
16 |
1 15
|
mp3anl1 |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
17 |
2 16
|
mpanl1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
18 |
17
|
ineq1d |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) = ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) ) |
19 |
14 18
|
eqtr3id |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) ) |
20 |
19
|
adantrlr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) ) |
21 |
20
|
adantrrr |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) ) |
22 |
1 2
|
chincli |
⊢ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ |
23 |
|
mdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ Cℋ ∧ 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) ) ) |
24 |
22 23
|
mp3anl1 |
⊢ ( ( ( 𝐶 ∈ Cℋ ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) ) ) |
25 |
3 24
|
mpanl1 |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) ) ) |
26 |
|
inass |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) |
27 |
26
|
oveq2i |
⊢ ( 𝑥 ∨ℋ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
28 |
25 27
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
29 |
28
|
adantrll |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
30 |
29
|
adantrrl |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∩ 𝐶 ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
31 |
21 30
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ Cℋ ∧ ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
32 |
31
|
ancoms |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
33 |
32
|
an32s |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
34 |
13 33
|
sylan2br |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
35 |
34
|
adantllr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
36 |
|
inass |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝐴 ∩ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
37 |
|
in12 |
⊢ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝐵 ∩ ( 𝐶 ∩ 𝐶 ) ) |
38 |
|
inidm |
⊢ ( 𝐶 ∩ 𝐶 ) = 𝐶 |
39 |
38
|
ineq2i |
⊢ ( 𝐵 ∩ ( 𝐶 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) |
40 |
37 39
|
eqtri |
⊢ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) |
41 |
40
|
ineq2i |
⊢ ( 𝐴 ∩ ( 𝐶 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) = ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) |
42 |
36 41
|
eqtr2i |
⊢ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) |
43 |
|
ssrin |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 → ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
44 |
42 43
|
eqsstrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 → ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
45 |
|
ssrin |
⊢ ( 𝐷 ⊆ 𝐴 → ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
46 |
44 45
|
anim12i |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) → ( ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
47 |
|
eqss |
⊢ ( ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
48 |
46 47
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) |
49 |
48
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
50 |
49
|
ad3antlr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) → ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐴 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
51 |
35 50
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐴 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) = ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
52 |
12 51
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) |
53 |
52
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) ∧ 𝑥 ∈ Cℋ ) → ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) ) |
54 |
53
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) → ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) ) |
55 |
2 3
|
chincli |
⊢ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∈ Cℋ |
56 |
|
mdbr2 |
⊢ ( ( 𝐷 ∈ Cℋ ∧ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ∈ Cℋ ) → ( 𝐷 𝑀ℋ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) ) ) |
57 |
4 55 56
|
mp2an |
⊢ ( 𝐷 𝑀ℋ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ Cℋ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) → ( ( 𝑥 ∨ℋ 𝐷 ) ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ⊆ ( 𝑥 ∨ℋ ( 𝐷 ∩ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) ) ) ) |
58 |
54 57
|
sylibr |
⊢ ( ( ( 𝐴 𝑀ℋ 𝐵 ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) 𝑀ℋ 𝐶 ) ∧ ( ( 𝐴 ∩ 𝐶 ) ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ⊆ 𝐴 ) ) → 𝐷 𝑀ℋ ( 𝐵 ∩ 𝐶 ) ) |