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Theorem metakunt22

Description: Show that B coincides on the union of bijections of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024)

Ref Expression
Hypotheses metakunt22.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
metakunt22.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ )
metakunt22.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀 )
metakunt22.4 ⊢ 𝐵 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ↦ if ( 𝑥 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) )
metakunt22.5 ⊢ 𝐶 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ↦ ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) )
metakunt22.6 ⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ↦ ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
metakunt22.7 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) )
metakunt22.8 ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀 )
metakunt22.9 ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼 )
Assertion metakunt22 ( 𝜑 → ( 𝐵 ‘ 𝑋 ) = ( ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ∪ { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } ) ‘ 𝑋 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 metakunt22.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ )
2 metakunt22.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ )
3 metakunt22.3 ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀 )
4 metakunt22.4 ⊢ 𝐵 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ↦ if ( 𝑥 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) )
5 metakunt22.5 ⊢ 𝐶 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ↦ ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) )
6 metakunt22.6 ⊢ 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ↦ ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
7 metakunt22.7 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) )
8 metakunt22.8 ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 = 𝑀 )
9 metakunt22.9 ⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 < 𝐼 )
10 4 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 = ( 𝑥 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) ↦ if ( 𝑥 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) ) )
11 eqeq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 = 𝑀 ↔ 𝑋 = 𝑀 ) )
12 breq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 < 𝐼 ↔ 𝑋 < 𝐼 ) )
13 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) = ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) )
14 oveq1 ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
15 12 13 14 ifbieq12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) = if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) )
16 11 15 ifbieq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → if ( 𝑥 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = if ( 𝑋 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) )
17 16 adantl ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → if ( 𝑥 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = if ( 𝑋 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) )
18 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑋 = 𝑀 → if ( 𝑋 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) )
19 8 18 syl ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑋 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) )
20 iffalse ⊢ ( ¬ 𝑋 < 𝐼 → if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
21 9 20 syl ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
22 19 21 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑋 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
23 22 adantr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → if ( 𝑋 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑋 < 𝐼 , ( 𝑋 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
24 17 23 eqtrd ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → if ( 𝑥 = 𝑀 , 𝑀 , if ( 𝑥 < 𝐼 , ( 𝑥 + ( 𝑀 − 𝐼 ) ) , ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
25 7 elfzelzd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ )
26 1zzd ⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℤ )
27 2 nnzd ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ )
28 26 27 zsubcld ⊢ ( 𝜑 → ( 1 − 𝐼 ) ∈ ℤ )
29 25 28 zaddcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) ∈ ℤ )
30 10 24 7 29 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
31 1 2 3 4 5 6 metakunt19 ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 Fn ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∧ 𝐷 Fn ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) Fn ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) ∧ { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } Fn { 𝑀 } ) )
32 31 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 Fn ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∧ 𝐷 Fn ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∧ ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) Fn ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) ) )
33 32 simp3d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) Fn ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) )
34 31 simprd ⊢ ( 𝜑 → { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } Fn { 𝑀 } )
35 indir ⊢ ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ∪ ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) )
36 35 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ∪ ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ) )
37 1 2 3 metakunt18 ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ∅ ∧ ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ ∧ ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ ) ∧ ( ( ( ( ( 𝑀 − 𝐼 ) + 1 ) ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ ( 1 ... ( 𝑀 − 𝐼 ) ) ) = ∅ ∧ ( ( ( ( 𝑀 − 𝐼 ) + 1 ) ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ ∧ ( ( 1 ... ( 𝑀 − 𝐼 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ ) ) )
38 37 simpld ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ∅ ∧ ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ ∧ ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ ) )
39 38 simp2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ )
40 38 simp3d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ )
41 39 40 uneq12d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ∪ ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ) = ( ∅ ∪ ∅ ) )
42 unidm ⊢ ( ∅ ∪ ∅ ) = ∅
43 42 a1i ⊢ ( 𝜑 → ( ∅ ∪ ∅ ) = ∅ )
44 41 43 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ∪ ( ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ∩ { 𝑀 } ) ) = ∅ )
45 36 44 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) ∩ { 𝑀 } ) = ∅ )
46 1 nnzd ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ )
47 46 26 zsubcld ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 − 1 ) ∈ ℤ )
48 2 nnred ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ )
49 elfznn ⊢ ( 𝑋 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) → 𝑋 ∈ ℕ )
50 7 49 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℕ )
51 50 nnred ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
52 48 51 lenltd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼 ) )
53 9 52 mpbird ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋 )
54 elfzle2 ⊢ ( 𝑋 ∈ ( 1 ... 𝑀 ) → 𝑋 ≤ 𝑀 )
55 7 54 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑀 )
56 df-ne ⊢ ( 𝑋 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑀 )
57 8 56 sylibr ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑀 )
58 57 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑋 )
59 55 58 jca ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋 ) )
60 1 nnred ⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ )
61 51 60 ltlend ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑀 ↔ ( 𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋 ) ) )
62 59 61 mpbird ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < 𝑀 )
63 zltlem1 ⊢ ( ( 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ ( 𝑀 − 1 ) ) )
64 25 46 63 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑀 ↔ 𝑋 ≤ ( 𝑀 − 1 ) ) )
65 62 64 mpbid ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≤ ( 𝑀 − 1 ) )
66 27 47 25 53 65 elfzd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) )
67 elun2 ⊢ ( 𝑋 ∈ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) → 𝑋 ∈ ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) )
68 66 67 syl ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∪ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) )
69 33 34 45 68 fvun1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ∪ { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } ) ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ‘ 𝑋 ) )
70 32 simp1d ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 Fn ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) )
71 32 simp2d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 Fn ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) )
72 38 simp1d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 1 ... ( 𝐼 − 1 ) ) ∩ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ) = ∅ )
73 70 71 72 66 fvun2d ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝐷 ‘ 𝑋 ) )
74 6 a1i ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 = ( 𝑥 ∈ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) ↦ ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) ) )
75 simpr ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → 𝑥 = 𝑋 )
76 75 oveq1d ⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋 ) → ( 𝑥 + ( 1 − 𝐼 ) ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
77 25 zred ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ )
78 lenlt ⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ) → ( 𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼 ) )
79 48 77 78 syl2anc ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ≤ 𝑋 ↔ ¬ 𝑋 < 𝐼 ) )
80 9 79 mpbird ⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑋 )
81 77 60 ltlend ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 < 𝑀 ↔ ( 𝑋 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝑋 ) ) )
82 59 81 mpbird ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 < 𝑀 )
83 82 64 mpbid ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≤ ( 𝑀 − 1 ) )
84 27 47 25 80 83 elfzd ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐼 ... ( 𝑀 − 1 ) ) )
85 74 76 84 29 fvmptd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
86 73 85 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
87 69 86 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ∪ { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } ) ‘ 𝑋 ) = ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) )
88 87 eqcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 + ( 1 − 𝐼 ) ) = ( ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ∪ { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } ) ‘ 𝑋 ) )
89 30 88 eqtrd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ‘ 𝑋 ) = ( ( ( 𝐶 ∪ 𝐷 ) ∪ { ⟨ 𝑀 , 𝑀 ⟩ } ) ‘ 𝑋 ) )