Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mirval.p |
⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
mirval.d |
⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
mirval.i |
⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
mirval.l |
⊢ 𝐿 = ( LineG ‘ 𝐺 ) |
5 |
|
mirval.s |
⊢ 𝑆 = ( pInvG ‘ 𝐺 ) |
6 |
|
mirval.g |
⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
7 |
|
mirval.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
8 |
|
mirfv.m |
⊢ 𝑀 = ( 𝑆 ‘ 𝐴 ) |
9 |
|
miriso.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
10 |
|
miriso.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝑋 = 𝐴 ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − 𝑌 ) ) |
13 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
14 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
15 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
16 |
1 2 3 4 5 13 14 8 15
|
mircgr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝐴 − 𝑌 ) ) |
17 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
18 |
11
|
eqcomd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝐴 = 𝑋 ) |
19 |
18
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → ( 𝐴 − 𝐴 ) = ( 𝐴 − 𝑋 ) ) |
20 |
1 2 3 13 14 17
|
tgbtwntriv1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑋 ) ) |
21 |
1 2 3 4 5 13 14 8 17 14 19 20
|
ismir |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → 𝐴 = ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) |
22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
23 |
12 16 22
|
3eqtr2rd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 = 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |
24 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
25 |
24
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
26 |
25
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
27 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
28 |
27
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 ) |
29 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
30 |
29
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
31 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
32 |
31
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
33 |
32
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
34 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
36 |
35
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 ) |
37 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑃 ) |
38 |
1 2 3 4 5 24 31 8 29
|
mircl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑃 ) |
39 |
38
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑃 ) |
40 |
39
|
ad6antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝑃 ) |
41 |
1 2 3 4 5 24 31 8 34
|
mircl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) |
42 |
41
|
ad8antr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) |
43 |
1 2 3 4 5 26 33 8 30
|
mirbtwn |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑋 ) ) |
44 |
|
simp-7r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) |
45 |
44
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ) |
46 |
1 2 3 26 40 33 30 28 43 45
|
tgbtwnexch3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ) |
47 |
1 2 3 26 33 30 28 46
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝐴 ) ) |
48 |
1 2 3 26 40 30 28 45
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝑥 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) ) |
49 |
1 2 3 26 40 33 30 43
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑋 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) ) |
50 |
1 2 3 26 28 30 33 40 48 49
|
tgbtwnexch2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) ) |
51 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) |
52 |
51
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) |
53 |
1 2 3 26 28 33 40 37 50 52
|
tgbtwnexch3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑧 ) ) |
54 |
1 2 3 26 33 40 37 53
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑧 𝐼 𝐴 ) ) |
55 |
|
simp-4r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
56 |
55
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
57 |
1 2 3 4 5 26 33 8 36
|
mirbtwn |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑌 ) ) |
58 |
|
simp-5r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
59 |
58
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ) |
60 |
1 2 3 26 42 33 36 56 57 59
|
tgbtwnexch3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑦 ) ) |
61 |
1 2 3 26 33 36 56 60
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝐴 ) ) |
62 |
1 2 3 4 5 26 33 8 30
|
mircgr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝐴 − 𝑋 ) ) |
63 |
58
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) |
64 |
1 2 3 26 36 56 30 33 63
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − 𝑋 ) ) |
65 |
62 64
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) = ( 𝑦 − 𝑌 ) ) |
66 |
51
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) |
67 |
1 2 3 26 33 40 37 56 36 33 53 61 65 66
|
tgcgrextend |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝑦 − 𝐴 ) ) |
68 |
44
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) |
69 |
68
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝐴 ) = ( 𝑋 − 𝑥 ) ) |
70 |
1 2 3 26 56 36 33 33 30 28 61 46 64 69
|
tgcgrextend |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝐴 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) |
71 |
67 70
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐴 − 𝑧 ) ) |
72 |
1 2 3 26 33 28 33 37 71
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝐴 ) = ( 𝑧 − 𝐴 ) ) |
73 |
62
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑋 ) = ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ) ) |
74 |
1 2 3 26 33 30 33 40 73
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝐴 ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝐴 ) ) |
75 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝑃 ) |
76 |
1 2 3 26 42 36 56 59
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑌 ∈ ( 𝑦 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
77 |
1 2 3 26 42 33 36 57
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑌 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
78 |
1 2 3 26 56 36 33 42 76 77
|
tgbtwnexch2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
79 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
80 |
79
|
simpld |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ) |
81 |
1 2 3 26 56 33 42 75 78 80
|
tgbtwnexch3 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑡 ) ) |
82 |
1 2 3 26 33 42 75 81
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑡 𝐼 𝐴 ) ) |
83 |
1 2 3 26 30 28 36 33 68
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) = ( 𝐴 − 𝑌 ) ) |
84 |
1 2 3 4 5 26 33 8 36
|
mircgr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝐴 − 𝑌 ) ) |
85 |
83 84
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑋 ) = ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
86 |
79
|
simprd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) |
87 |
86
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝐴 ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) ) |
88 |
1 2 3 26 28 30 33 33 42 75 47 81 85 87
|
tgcgrextend |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝐴 ) = ( 𝐴 − 𝑡 ) ) |
89 |
1 2 3 26 33 75
|
axtgcgrrflx |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑡 ) = ( 𝑡 − 𝐴 ) ) |
90 |
88 89
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝐴 ) = ( 𝑡 − 𝐴 ) ) |
91 |
1 2 3 26 28 33 75 33 90
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑥 ) = ( 𝐴 − 𝑡 ) ) |
92 |
70 91 89
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝐴 ) = ( 𝑡 − 𝐴 ) ) |
93 |
1 2 3 26 33 42 33 36 84
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝐴 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) |
94 |
93
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝐴 ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝐴 ) ) |
95 |
1 2 3 26 75 37
|
axtgcgrrflx |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑡 − 𝑧 ) = ( 𝑧 − 𝑡 ) ) |
96 |
|
simp-9r |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ≠ 𝐴 ) |
97 |
96
|
neneqd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ¬ 𝑋 = 𝐴 ) |
98 |
26
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
99 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
100 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
101 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑋 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) ) |
102 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑥 = 𝐴 ) |
103 |
102
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → ( 𝐴 𝐼 𝑥 ) = ( 𝐴 𝐼 𝐴 ) ) |
104 |
101 103
|
eleqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑋 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐴 ) ) |
105 |
1 2 3 98 99 100 104
|
axtgbtwnid |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝐴 = 𝑋 ) |
106 |
105
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝐴 ) → 𝑋 = 𝐴 ) |
107 |
97 106
|
mtand |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ¬ 𝑥 = 𝐴 ) |
108 |
107
|
neqned |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ≠ 𝐴 ) |
109 |
1 2 3 26 28 33 40 37 50 52
|
tgbtwnexch |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ) |
110 |
1 2 3 26 56 33 42 75 78 80
|
tgbtwnexch |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ) |
111 |
1 2 3 26 56 33 75 110
|
tgbtwncom |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝑡 𝐼 𝑦 ) ) |
112 |
1 2 3 26 56 33
|
axtgcgrrflx |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝐴 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) |
113 |
67 112
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑧 ) = ( 𝐴 − 𝑦 ) ) |
114 |
1 2 3 26 28 75
|
axtgcgrrflx |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑡 ) = ( 𝑡 − 𝑥 ) ) |
115 |
91
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑡 ) = ( 𝐴 − 𝑥 ) ) |
116 |
1 2 3 26 28 33 37 75 33 56 75 28 108 109 111 90 113 114 115
|
axtg5seg |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑧 − 𝑡 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) ) |
117 |
95 116
|
eqtr2d |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 − 𝑥 ) = ( 𝑡 − 𝑧 ) ) |
118 |
1 2 3 26 56 36 33 28 75 42 33 37 61 82 92 94 117 71
|
tgifscgr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑌 − 𝑥 ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑧 ) ) |
119 |
1 2 3 26 36 28 42 37 118
|
tgcgrcomlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 − 𝑌 ) = ( 𝑧 − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
120 |
84
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝐴 − 𝑌 ) = ( 𝐴 − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
121 |
1 2 3 26 28 30 33 36 37 40 33 42 47 54 72 74 119 120
|
tgifscgr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) ) |
122 |
121
|
eqcomd |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |
123 |
|
simp-6l |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ) |
124 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
125 |
24
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG ) |
126 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 ) |
127 |
41
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ 𝑃 ) |
128 |
29
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 ) |
129 |
31
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 ) |
130 |
1 2 3 125 126 127 128 129
|
axtgsegcon |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑃 ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
131 |
123 55 124 130
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝑃 ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ∈ ( 𝑦 𝐼 𝑡 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) − 𝑡 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
132 |
122 131
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |
133 |
1 2 3 25 27 39 35 32
|
axtgsegcon |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) |
134 |
133
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝑃 ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) ∈ ( 𝑥 𝐼 𝑧 ) ∧ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − 𝑧 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) |
135 |
132 134
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |
136 |
1 2 3 24 41 34 29 31
|
axtgsegcon |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
137 |
136
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( 𝑌 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) 𝐼 𝑦 ) ∧ ( 𝑌 − 𝑦 ) = ( 𝑋 − 𝐴 ) ) ) |
138 |
135 137
|
r19.29a |
⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |
139 |
1 2 3 24 38 29 34 31
|
axtgsegcon |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ( 𝑋 ∈ ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) 𝐼 𝑥 ) ∧ ( 𝑋 − 𝑥 ) = ( 𝑌 − 𝐴 ) ) ) |
140 |
138 139
|
r19.29a |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝐴 ) → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |
141 |
23 140
|
pm2.61dane |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑀 ‘ 𝑋 ) − ( 𝑀 ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 − 𝑌 ) ) |