Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ntrivcvgtail.1 |
⊢ 𝑍 = ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) |
2 |
|
ntrivcvgtail.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍 ) |
3 |
|
ntrivcvgtail.3 |
⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑋 ) |
4 |
|
ntrivcvgtail.4 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ≠ 0 ) |
5 |
|
ntrivcvgtail.5 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
6 |
|
fclim |
⊢ ⇝ : dom ⇝ ⟶ ℂ |
7 |
|
ffun |
⊢ ( ⇝ : dom ⇝ ⟶ ℂ → Fun ⇝ ) |
8 |
6 7
|
ax-mp |
⊢ Fun ⇝ |
9 |
|
funbrfv |
⊢ ( Fun ⇝ → ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑋 → ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) = 𝑋 ) ) |
10 |
8 3 9
|
mpsyl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) = 𝑋 ) |
11 |
10 4
|
eqnetrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ) |
12 |
3 10
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) |
13 |
11 12
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |
14 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |
15 |
|
seqeq1 |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) = seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) |
16 |
15
|
fveq2d |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) = ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) |
17 |
16
|
neeq1d |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ) ) |
18 |
15 16
|
breq12d |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ↔ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |
19 |
17 18
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑁 = 𝑀 → ( ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) ) ) |
20 |
19
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ) ) ) ) |
21 |
14 20
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀 ) → ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |
22 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
23 |
22 1
|
eleqtrrdi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ 𝑍 ) |
24 |
5
|
adantlr |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ) → ( 𝐹 ‘ 𝑘 ) ∈ ℂ ) |
25 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑋 ) |
26 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑋 ≠ 0 ) |
27 |
1 23 25 26 24
|
ntrivcvgfvn0 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ≠ 0 ) |
28 |
1 23 24 25 27
|
clim2div |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ⇝ ( 𝑋 / ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
29 |
|
funbrfv |
⊢ ( Fun ⇝ → ( seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ⇝ ( 𝑋 / ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) → ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) = ( 𝑋 / ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) ) |
30 |
8 28 29
|
mpsyl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) = ( 𝑋 / ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ) |
31 |
|
climcl |
⊢ ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ⇝ 𝑋 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
32 |
3 31
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑋 ∈ ℂ ) |
34 |
|
eluzel2 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
35 |
34 1
|
eleq2s |
⊢ ( 𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
36 |
2 35
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ ) |
37 |
1 36 5
|
prodf |
⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) : 𝑍 ⟶ ℂ ) |
38 |
1
|
feq2i |
⊢ ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) : 𝑍 ⟶ ℂ ↔ seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) : ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⟶ ℂ ) |
39 |
37 38
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) : ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⟶ ℂ ) |
40 |
39
|
ffvelrnda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℂ ) |
41 |
33 40 26 27
|
divne0d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( 𝑋 / ( seq 𝑀 ( · , 𝐹 ) ‘ ( 𝑁 − 1 ) ) ) ≠ 0 ) |
42 |
30 41
|
eqnetrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ) |
43 |
28 30
|
breqtrrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) ) |
44 |
|
uzssz |
⊢ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ⊆ ℤ |
45 |
1 44
|
eqsstri |
⊢ 𝑍 ⊆ ℤ |
46 |
45 2
|
sselid |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
47 |
46
|
zcnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
48 |
47
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
49 |
|
1cnd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → 1 ∈ ℂ ) |
50 |
48 49
|
npcand |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) = 𝑁 ) |
51 |
50
|
seqeq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) = seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) |
52 |
51
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) = ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) |
53 |
52
|
neeq1d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ↔ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ) ) |
54 |
51 52
|
breq12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) ↔ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |
55 |
53 54
|
anbi12d |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq ( ( 𝑁 − 1 ) + 1 ) ( · , 𝐹 ) ) ) ↔ ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ) ) |
56 |
42 43 55
|
mpbi2and |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) → ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |
57 |
2 1
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) |
58 |
|
uzm1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) → ( 𝑁 = 𝑀 ∨ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ) |
59 |
57 58
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 = 𝑀 ∨ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ( ℤ≥ ‘ 𝑀 ) ) ) |
60 |
21 56 59
|
mpjaodan |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ≠ 0 ∧ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ⇝ ( ⇝ ‘ seq 𝑁 ( · , 𝐹 ) ) ) ) |