Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
odmulgid.1 |
⊢ 𝑋 = ( Base ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
odmulgid.2 |
⊢ 𝑂 = ( od ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
odmulgid.3 |
⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 ) |
4 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
5 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
6 |
1 2
|
odcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑋 → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
8 |
7
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
9 |
|
bezout |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) ) |
10 |
4 8 9
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) ) |
11 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) = ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) · 𝐴 ) = ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) · 𝐴 ) ) |
12 |
11
|
eqcoms |
⊢ ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) · 𝐴 ) = ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) · 𝐴 ) ) |
13 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐺 ∈ Grp ) |
14 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
15 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑥 ∈ ℤ ) |
16 |
14 15
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 · 𝑥 ) ∈ ℤ ) |
17 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
18 |
17 6
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℕ0 ) |
19 |
18
|
nn0zd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ) |
20 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑦 ∈ ℤ ) |
21 |
19 20
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ∈ ℤ ) |
22 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 ) |
23 |
1 3 22
|
mulgdir |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( ( 𝑁 · 𝑥 ) ∈ ℤ ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) · 𝐴 ) = ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) · 𝐴 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) ) ) |
24 |
13 16 21 17 23
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) · 𝐴 ) = ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) · 𝐴 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) ) ) |
25 |
14
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
26 |
15
|
zcnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → 𝑥 ∈ ℂ ) |
27 |
25 26
|
mulcomd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 · 𝑥 ) = ( 𝑥 · 𝑁 ) ) |
28 |
27
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 · 𝑥 ) · 𝐴 ) = ( ( 𝑥 · 𝑁 ) · 𝐴 ) ) |
29 |
1 3
|
mulgass |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑁 ) · 𝐴 ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
30 |
13 15 14 17 29
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥 · 𝑁 ) · 𝐴 ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
31 |
28 30
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 · 𝑥 ) · 𝐴 ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
32 |
|
dvdsmul1 |
⊢ ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∥ ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) |
33 |
19 20 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∥ ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) |
34 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ 𝐺 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) |
35 |
1 2 3 34
|
oddvds |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∥ ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
36 |
13 17 21 35
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ∥ ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
37 |
33 36
|
mpbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) = ( 0g ‘ 𝐺 ) ) |
38 |
31 37
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) · 𝐴 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) ) = ( ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) ) |
39 |
1 3
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) |
40 |
13 14 17 39
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) |
41 |
1 3
|
mulgcl |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ 𝑋 ) → ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑋 ) |
42 |
13 15 40 41
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑋 ) |
43 |
1 22 34
|
grprid |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
44 |
13 42 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 0g ‘ 𝐺 ) ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
45 |
38 44
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) · 𝐴 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) · 𝐴 ) ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
46 |
24 45
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) · 𝐴 ) = ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) ) |
47 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) |
48 |
47
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) · 𝐴 ) = ( 1 · 𝐴 ) ) |
49 |
1 3
|
mulg1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑋 → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 ) |
50 |
17 49
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 ) |
51 |
48 50
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) · 𝐴 ) = 𝐴 ) |
52 |
46 51
|
eqeq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) · 𝐴 ) = ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) · 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) = 𝐴 ) ) |
53 |
12 52
|
syl5ib |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ ( 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) = 𝐴 ) ) |
54 |
53
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) = 𝐴 ) ) |
55 |
54
|
rexlimdva |
⊢ ( ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ) → ( ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) → ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) = 𝐴 ) ) |
56 |
55
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ℤ ∃ 𝑦 ∈ ℤ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = ( ( 𝑁 · 𝑥 ) + ( ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) · 𝑦 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) = 𝐴 ) ) |
57 |
10 56
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑁 gcd ( 𝑂 ‘ 𝐴 ) ) = 1 ) → ∃ 𝑥 ∈ ℤ ( 𝑥 · ( 𝑁 · 𝐴 ) ) = 𝐴 ) |