Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ ) |
2 |
|
1red |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ ) |
3 |
1 2
|
resubcld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ ) |
4 |
|
2rp |
⊢ 2 ∈ ℝ+ |
5 |
4
|
a1i |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ+ ) |
6 |
1
|
lem1d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 − 1 ) ≤ 𝐾 ) |
7 |
3 1 5 6
|
lediv1dd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ≤ ( 𝐾 / 2 ) ) |
8 |
1
|
rehalfcld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℝ ) |
9 |
5
|
rpreccld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 1 / 2 ) ∈ ℝ+ ) |
10 |
8 9
|
ltaddrpd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 / 2 ) < ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
11 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
12 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ ) |
13 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ ) |
14 |
5
|
rpne0d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 2 ≠ 0 ) |
15 |
11 12 13 14
|
divsubdird |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) = ( ( 𝐾 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) = ( ( ( 𝐾 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) + 1 ) ) |
17 |
11
|
halfcld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℂ ) |
18 |
13 14
|
reccld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 1 / 2 ) ∈ ℂ ) |
19 |
17 18 12
|
subadd23d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( ( 𝐾 / 2 ) − ( 1 / 2 ) ) + 1 ) = ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 − ( 1 / 2 ) ) ) ) |
20 |
|
1mhlfehlf |
⊢ ( 1 − ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) |
21 |
20
|
oveq2i |
⊢ ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) |
22 |
21
|
a1i |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 − ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) |
23 |
16 19 22
|
3eqtrrd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ) |
24 |
10 23
|
breqtrd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 / 2 ) < ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ) |
25 |
7 24
|
jca |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ≤ ( 𝐾 / 2 ) ∧ ( 𝐾 / 2 ) < ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ) ) |
26 |
25
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ≤ ( 𝐾 / 2 ) ∧ ( 𝐾 / 2 ) < ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ) ) |
27 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
28 |
27
|
rehalfcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℝ ) |
29 |
11 12
|
npcand |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 ) |
30 |
29
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( 𝐾 / 2 ) ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( 𝐾 / 2 ) ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) |
33 |
32
|
neneqd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ¬ ( 𝐾 mod 2 ) = 0 ) |
34 |
|
mod0 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐾 mod 2 ) = 0 ↔ ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
35 |
1 5 34
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 𝐾 mod 2 ) = 0 ↔ ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
36 |
35
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 mod 2 ) = 0 ↔ ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
37 |
33 36
|
mtbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ¬ ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℤ ) |
38 |
31 37
|
eqneltrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ¬ ( ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
39 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
40 |
|
1zzd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → 1 ∈ ℤ ) |
41 |
39 40
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ ) |
42 |
|
zeo2 |
⊢ ( ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℤ → ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ¬ ( ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
43 |
41 42
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ↔ ¬ ( ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
44 |
38 43
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
45 |
|
flbi |
⊢ ( ( ( 𝐾 / 2 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐾 / 2 ) ) = ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ↔ ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ≤ ( 𝐾 / 2 ) ∧ ( 𝐾 / 2 ) < ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ) ) ) |
46 |
28 44 45
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐾 / 2 ) ) = ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ↔ ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ≤ ( 𝐾 / 2 ) ∧ ( 𝐾 / 2 ) < ( ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) + 1 ) ) ) ) |
47 |
26 46
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐾 / 2 ) ) = ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ) |
48 |
47
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( 2 · ( ⌊ ‘ ( 𝐾 / 2 ) ) ) = ( 2 · ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ) ) |
49 |
48
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( 𝐾 / 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( 2 · ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) ) |
50 |
11 12
|
subcld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℂ ) |
51 |
50 13 14
|
divcan2d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 2 · ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ) = ( 𝐾 − 1 ) ) |
52 |
51
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( 2 · ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( 2 · ( ( 𝐾 − 1 ) / 2 ) ) + 1 ) = ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) ) |
54 |
29
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → ( ( 𝐾 − 1 ) + 1 ) = 𝐾 ) |
55 |
49 53 54
|
3eqtrrd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ ( 𝐾 mod 2 ) ≠ 0 ) → 𝐾 = ( ( 2 · ( ⌊ ‘ ( 𝐾 / 2 ) ) ) + 1 ) ) |