Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
replim |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
2 |
|
replim |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → 𝐵 = ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
oveqan12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
4 |
|
recl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
7 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
8 |
|
imcl |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
10 |
9
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
11 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ 𝐴 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
12 |
7 10 11
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ∈ ℂ ) |
13 |
6 12
|
addcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ∈ ℂ ) |
14 |
|
recl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( ℜ ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
15 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
17 |
|
imcl |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( ℑ ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
20 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ℑ ‘ 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
21 |
7 19 20
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
22 |
13 16 21
|
adddid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
23 |
6 12 16
|
adddird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
24 |
6 12 21
|
adddird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
25 |
23 24
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
26 |
5 15
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
27 |
26
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
12 21
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
29 |
12 16
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
30 |
6 21
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
31 |
27 28 29 30
|
add42d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) + ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
32 |
7
|
a1i |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → i ∈ ℂ ) |
33 |
32 10 32 19
|
mul4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( i · i ) · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
34 |
|
ixi |
⊢ ( i · i ) = - 1 |
35 |
34
|
oveq1i |
⊢ ( ( i · i ) · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( - 1 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) |
36 |
9 18
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
37 |
36
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
38 |
37
|
mulm1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( - 1 · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) |
39 |
35 38
|
eqtrid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · i ) · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) |
40 |
33 39
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
42 |
27 37
|
negsubd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + - ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
43 |
41 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
44 |
9 15
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
45 |
44
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
46 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
47 |
7 45 46
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
48 |
5 18
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
49 |
48
|
recnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
50 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
51 |
7 49 50
|
sylancr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
52 |
47 51
|
addcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
53 |
32 10 16
|
mulassd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) = ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
54 |
6 32 19
|
mul12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
55 |
53 54
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
56 |
32 49 45
|
adddid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
57 |
52 55 56
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
58 |
43 57
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) + ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
59 |
25 31 58
|
3eqtr2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) + ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
60 |
3 22 59
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ℜ ‘ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
62 |
26 36
|
resubcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
63 |
48 44
|
readdcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
64 |
|
crre |
⊢ ( ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ℜ ‘ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
65 |
62 63 64
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
66 |
61 65
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
67 |
60
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ℑ ‘ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) ) |
68 |
|
crim |
⊢ ( ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) → ( ℑ ‘ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
69 |
62 63 68
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
70 |
67 69
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
71 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
72 |
|
remim |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ → ( ∗ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) − ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ) ) |
73 |
71 72
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ∗ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) − ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ) ) |
74 |
|
remim |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( ∗ ‘ 𝐴 ) = ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) ) |
75 |
|
remim |
⊢ ( 𝐵 ∈ ℂ → ( ∗ ‘ 𝐵 ) = ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
76 |
74 75
|
oveqan12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) · ( ∗ ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
77 |
16 21
|
subcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
78 |
6 12 77
|
subdird |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
79 |
27 30 29 28
|
subadd4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
80 |
6 16 21
|
subdid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
81 |
12 16 21
|
subdid |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
82 |
80 81
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
83 |
65 61 43
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
84 |
70
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) = ( i · ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
85 |
54 53
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) = ( ( i · ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( i · ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
86 |
56 84 85
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |
87 |
83 86
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) − ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) + ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) |
88 |
79 82 87
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) − ( ( i · ( ℑ ‘ 𝐴 ) ) · ( ( ℜ ‘ 𝐵 ) − ( i · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) − ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ) ) |
89 |
76 78 88
|
3eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) · ( ∗ ‘ 𝐵 ) ) = ( ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) − ( i · ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) ) ) |
90 |
73 89
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ∗ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) · ( ∗ ‘ 𝐵 ) ) ) |
91 |
66 70 90
|
3jca |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( ( ℜ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) − ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ℑ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ℜ ‘ 𝐴 ) · ( ℑ ‘ 𝐵 ) ) + ( ( ℑ ‘ 𝐴 ) · ( ℜ ‘ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ∗ ‘ ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( ∗ ‘ 𝐴 ) · ( ∗ ‘ 𝐵 ) ) ) ) |