Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
replim |
|- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
2 |
|
replim |
|- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
oveqan12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
4 |
|
recl |
|- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. RR ) |
6 |
5
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC ) |
7 |
|
ax-icn |
|- _i e. CC |
8 |
|
imcl |
|- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. RR ) |
10 |
9
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` A ) e. CC ) |
11 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
12 |
7 10 11
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC ) |
13 |
6 12
|
addcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) e. CC ) |
14 |
|
recl |
|- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR ) |
15 |
14
|
adantl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR ) |
16 |
15
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC ) |
17 |
|
imcl |
|- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR ) |
19 |
18
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC ) |
20 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
21 |
7 19 20
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
22 |
13 16 21
|
adddid |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
23 |
6 12 16
|
adddird |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) ) |
24 |
6 12 21
|
adddird |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
25 |
23 24
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) ) |
26 |
5 15
|
remulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. RR ) |
27 |
26
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC ) |
28 |
12 21
|
mulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) e. CC ) |
29 |
12 16
|
mulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) e. CC ) |
30 |
6 21
|
mulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) e. CC ) |
31 |
27 28 29 30
|
add42d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) + ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) ) |
32 |
7
|
a1i |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> _i e. CC ) |
33 |
32 10 32 19
|
mul4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
34 |
|
ixi |
|- ( _i x. _i ) = -u 1 |
35 |
34
|
oveq1i |
|- ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) |
36 |
9 18
|
remulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. RR ) |
37 |
36
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
38 |
37
|
mulm1d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u 1 x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) |
39 |
35 38
|
eqtrid |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. _i ) x. ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) |
40 |
33 39
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) |
41 |
40
|
oveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
42 |
27 37
|
negsubd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + -u ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
43 |
41 42
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
44 |
9 15
|
remulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. RR ) |
45 |
44
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC ) |
46 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. CC ) |
47 |
7 45 46
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. CC ) |
48 |
5 18
|
remulcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. RR ) |
49 |
48
|
recnd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC ) |
50 |
|
mulcl |
|- ( ( _i e. CC /\ ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. CC ) |
51 |
7 49 50
|
sylancr |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. CC ) |
52 |
47 51
|
addcomd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
53 |
32 10 16
|
mulassd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) = ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) |
54 |
6 32 19
|
mul12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) = ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
55 |
53 54
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
56 |
32 49 45
|
adddid |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
57 |
52 55 56
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
58 |
43 57
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) + ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) |
59 |
25 31 58
|
3eqtr2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) |
60 |
3 22 59
|
3eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) |
61 |
60
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( Re ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) ) |
62 |
26 36
|
resubcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. RR ) |
63 |
48 44
|
readdcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. RR ) |
64 |
|
crre |
|- ( ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. RR /\ ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
65 |
62 63 64
|
syl2anc |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
66 |
61 65
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) ) |
67 |
60
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( Im ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) ) |
68 |
|
crim |
|- ( ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) e. RR /\ ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) e. RR ) -> ( Im ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) |
69 |
62 63 68
|
syl2anc |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) |
70 |
67 69
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) |
71 |
|
mulcl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) e. CC ) |
72 |
|
remim |
|- ( ( A x. B ) e. CC -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) ) |
73 |
71 72
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) ) |
74 |
|
remim |
|- ( A e. CC -> ( * ` A ) = ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) |
75 |
|
remim |
|- ( B e. CC -> ( * ` B ) = ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) |
76 |
74 75
|
oveqan12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) = ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
77 |
16 21
|
subcld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) e. CC ) |
78 |
6 12 77
|
subdird |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) - ( _i x. ( Im ` A ) ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) ) |
79 |
27 30 29 28
|
subadd4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
80 |
6 16 21
|
subdid |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
81 |
12 16 21
|
subdid |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) = ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
82 |
80 81
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) ) |
83 |
65 61 43
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) |
84 |
70
|
oveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) = ( _i x. ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
85 |
54 53
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) = ( ( _i x. ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) + ( _i x. ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
86 |
56 84 85
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) ) |
87 |
83 86
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) = ( ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( ( Re ` A ) x. ( _i x. ( Im ` B ) ) ) + ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( Re ` B ) ) ) ) ) |
88 |
79 82 87
|
3eqtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` A ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) - ( ( _i x. ( Im ` A ) ) x. ( ( Re ` B ) - ( _i x. ( Im ` B ) ) ) ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) ) |
89 |
76 78 88
|
3eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) = ( ( Re ` ( A x. B ) ) - ( _i x. ( Im ` ( A x. B ) ) ) ) ) |
90 |
73 89
|
eqtr4d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) |
91 |
66 70 90
|
3jca |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( Re ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Re ` B ) ) - ( ( Im ` A ) x. ( Im ` B ) ) ) /\ ( Im ` ( A x. B ) ) = ( ( ( Re ` A ) x. ( Im ` B ) ) + ( ( Im ` A ) x. ( Re ` B ) ) ) /\ ( * ` ( A x. B ) ) = ( ( * ` A ) x. ( * ` B ) ) ) ) |