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## Theorem resttopon

Description: A subspace topology is a topology on the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion resttopon ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝐽t 𝐴 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐴 ) )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 topontop ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top )
2 id ( 𝐴𝑋𝐴𝑋 )
3 toponmax ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋𝐽 )
4 ssexg ( ( 𝐴𝑋𝑋𝐽 ) → 𝐴 ∈ V )
5 2 3 4 syl2anr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝐴 ∈ V )
6 resttop ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ) → ( 𝐽t 𝐴 ) ∈ Top )
7 1 5 6 syl2an2r ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝐽t 𝐴 ) ∈ Top )
8 simpr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝐴𝑋 )
9 sseqin2 ( 𝐴𝑋 ↔ ( 𝑋𝐴 ) = 𝐴 )
10 8 9 sylib ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝑋𝐴 ) = 𝐴 )
11 simpl ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
12 3 adantr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝑋𝐽 )
13 elrestr ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋𝐽 ) → ( 𝑋𝐴 ) ∈ ( 𝐽t 𝐴 ) )
14 11 5 12 13 syl3anc ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝑋𝐴 ) ∈ ( 𝐽t 𝐴 ) )
15 10 14 eqeltrrd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝐴 ∈ ( 𝐽t 𝐴 ) )
16 elssuni ( 𝐴 ∈ ( 𝐽t 𝐴 ) → 𝐴 ( 𝐽t 𝐴 ) )
17 15 16 syl ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝐴 ( 𝐽t 𝐴 ) )
18 restval ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ V ) → ( 𝐽t 𝐴 ) = ran ( 𝑥𝐽 ↦ ( 𝑥𝐴 ) ) )
19 5 18 syldan ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝐽t 𝐴 ) = ran ( 𝑥𝐽 ↦ ( 𝑥𝐴 ) ) )
20 inss2 ( 𝑥𝐴 ) ⊆ 𝐴
21 vex 𝑥 ∈ V
22 21 inex1 ( 𝑥𝐴 ) ∈ V
23 22 elpw ( ( 𝑥𝐴 ) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ( 𝑥𝐴 ) ⊆ 𝐴 )
24 20 23 mpbir ( 𝑥𝐴 ) ∈ 𝒫 𝐴
25 24 a1i ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) ∧ 𝑥𝐽 ) → ( 𝑥𝐴 ) ∈ 𝒫 𝐴 )
26 25 fmpttd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝑥𝐽 ↦ ( 𝑥𝐴 ) ) : 𝐽 ⟶ 𝒫 𝐴 )
27 26 frnd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ran ( 𝑥𝐽 ↦ ( 𝑥𝐴 ) ) ⊆ 𝒫 𝐴 )
28 19 27 eqsstrd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝐽t 𝐴 ) ⊆ 𝒫 𝐴 )
29 sspwuni ( ( 𝐽t 𝐴 ) ⊆ 𝒫 𝐴 ( 𝐽t 𝐴 ) ⊆ 𝐴 )
30 28 29 sylib ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝐽t 𝐴 ) ⊆ 𝐴 )
31 17 30 eqssd ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → 𝐴 = ( 𝐽t 𝐴 ) )
32 istopon ( ( 𝐽t 𝐴 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐴 ) ↔ ( ( 𝐽t 𝐴 ) ∈ Top ∧ 𝐴 = ( 𝐽t 𝐴 ) ) )
33 7 31 32 sylanbrc ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴𝑋 ) → ( 𝐽t 𝐴 ) ∈ ( TopOn ‘ 𝐴 ) )