Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
neg1z |
⊢ - 1 ∈ ℤ |
2 |
|
rmxadd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ - 1 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) ) ) |
3 |
1 2
|
mp3an3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) ) ) |
4 |
|
1z |
⊢ 1 ∈ ℤ |
5 |
|
rmxneg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = ( 𝐴 Xrm 1 ) ) |
6 |
4 5
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = ( 𝐴 Xrm 1 ) ) |
7 |
|
rmx1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Xrm 1 ) = 𝐴 ) |
8 |
6 7
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = 𝐴 ) |
9 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = 𝐴 ) |
10 |
9
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · 𝐴 ) ) |
11 |
|
frmx |
⊢ Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0 |
12 |
11
|
fovcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
13 |
12
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
14 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
16 |
13 15
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · 𝐴 ) = ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ) |
17 |
10 16
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ) |
18 |
|
rmyneg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm - 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 1 ) ) |
19 |
4 18
|
mpan2 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Yrm - 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 1 ) ) |
20 |
|
rmy1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Yrm 1 ) = 1 ) |
21 |
20
|
negeqd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → - ( 𝐴 Yrm 1 ) = - 1 ) |
22 |
19 21
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Yrm - 1 ) = - 1 ) |
23 |
22
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) ) |
24 |
23
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) ) |
25 |
|
frmy |
⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ |
26 |
25
|
fovcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
27 |
26
|
zcnd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ ) |
28 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
29 |
|
mulneg2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) = - ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) ) |
30 |
27 28 29
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) = - ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) ) |
31 |
27
|
mulid1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) = ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) |
32 |
31
|
negeqd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → - ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) |
33 |
30 32
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) |
34 |
24 33
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
36 |
|
rmspecnonsq |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) ) |
37 |
36
|
eldifad |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
38 |
37
|
nncnd |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
39 |
38
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
40 |
39 27
|
mulneg2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) = - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
41 |
35 40
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) = - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
42 |
17 41
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
43 |
3 42
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
44 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
45 |
44
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
46 |
|
negsub |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 + - 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
47 |
45 28 46
|
sylancl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 + - 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) ) |
48 |
47
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 − 1 ) ) ) |
49 |
15 13
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
50 |
39 27
|
mulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ ) |
51 |
49 50
|
negsubd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |
52 |
43 48 51
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ) |