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Theorem rmxm1

Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of JonesMatijasevic p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014)

Ref Expression
Assertion rmxm1 ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 neg1z - 1 ∈ ℤ
2 rmxadd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ - 1 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) ) )
3 1 2 mp3an3 ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) ) )
4 1z 1 ∈ ℤ
5 rmxneg ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = ( 𝐴 Xrm 1 ) )
6 4 5 mpan2 ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = ( 𝐴 Xrm 1 ) )
7 rmx1 ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Xrm 1 ) = 𝐴 )
8 6 7 eqtrd ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = 𝐴 )
9 8 adantr ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm - 1 ) = 𝐴 )
10 9 oveq2d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) = ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · 𝐴 ) )
11 frmx Xrm : ( ( ℤ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0
12 11 fovcl ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 )
13 12 nn0cnd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
14 eluzelcn ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
15 14 adantr ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
16 13 15 mulcomd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · 𝐴 ) = ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) )
17 10 16 eqtrd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) = ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) )
18 rmyneg ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 1 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm - 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 1 ) )
19 4 18 mpan2 ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Yrm - 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 1 ) )
20 rmy1 ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Yrm 1 ) = 1 )
21 20 negeqd ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → - ( 𝐴 Yrm 1 ) = - 1 )
22 19 21 eqtrd ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( 𝐴 Yrm - 1 ) = - 1 )
23 22 oveq2d ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) )
24 23 adantr ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) = ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) )
25 frmy Yrm : ( ( ℤ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ
26 25 fovcl ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ )
27 26 zcnd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ )
28 ax-1cn 1 ∈ ℂ
29 mulneg2 ( ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) = - ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) )
30 27 28 29 sylancl ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) = - ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) )
31 27 mulid1d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) = ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) )
32 31 negeqd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → - ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) )
33 30 32 eqtrd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · - 1 ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) )
34 24 33 eqtrd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) = - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) )
35 34 oveq2d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
36 rmspecnonsq ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ( ℕ ∖ ◻NN ) )
37 36 eldifad ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℕ )
38 37 nncnd ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ )
39 38 adantr ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ∈ ℂ )
40 39 27 mulneg2d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · - ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) = - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
41 35 40 eqtrd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) = - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) )
42 17 41 oveq12d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Xrm - 1 ) ) + ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) · ( 𝐴 Yrm - 1 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
43 3 42 eqtrd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
44 zcn ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
45 44 adantl ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℂ )
46 negsub ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 + - 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) )
47 45 28 46 sylancl ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 + - 1 ) = ( 𝑁 − 1 ) )
48 47 oveq2d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 + - 1 ) ) = ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 − 1 ) ) )
49 15 13 mulcld ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
50 39 27 mulcld ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℂ )
51 49 50 negsubd ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) + - ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )
52 43 48 51 3eqtr3d ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 − 1 ) ) = ( ( 𝐴 · ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ) − ( ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) )