Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sinperlem.1 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) / 𝐷 ) ) |
2 |
|
sinperlem.2 |
⊢ ( ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℂ → ( 𝐹 ‘ ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) ) / 𝐷 ) ) |
3 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
4 |
|
2cn |
⊢ 2 ∈ ℂ |
5 |
|
picn |
⊢ π ∈ ℂ |
6 |
4 5
|
mulcli |
⊢ ( 2 · π ) ∈ ℂ |
7 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( 2 · π ) ∈ ℂ ) → ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) |
8 |
3 6 7
|
sylancl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) |
9 |
|
ax-icn |
⊢ i ∈ ℂ |
10 |
|
adddi |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) |
11 |
9 10
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) |
12 |
8 11
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) |
13 |
|
mul12 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( 2 · π ) ∈ ℂ ) → ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( 𝐾 · ( i · ( 2 · π ) ) ) ) |
14 |
9 6 13
|
mp3an13 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℂ → ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( 𝐾 · ( i · ( 2 · π ) ) ) ) |
15 |
3 14
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( 𝐾 · ( i · ( 2 · π ) ) ) ) |
16 |
9 6
|
mulcli |
⊢ ( i · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ |
17 |
|
mulcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( i · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐾 · ( i · ( 2 · π ) ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
18 |
3 16 17
|
sylancl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( 𝐾 · ( i · ( 2 · π ) ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
19 |
15 18
|
eqtrd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
20 |
19
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
21 |
20
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( i · 𝐴 ) + ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) ) |
22 |
12 21
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) ) |
23 |
22
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) ) ) |
24 |
|
mulcl |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
25 |
9 24
|
mpan |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
26 |
|
efper |
⊢ ( ( ( i · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) ) = ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) |
27 |
25 26
|
sylan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) ) = ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) |
28 |
23 27
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) ) |
29 |
|
negicn |
⊢ - i ∈ ℂ |
30 |
|
adddi |
⊢ ( ( - i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( - i · 𝐴 ) + ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) |
31 |
29 30
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( - i · 𝐴 ) + ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) |
32 |
8 31
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( - i · 𝐴 ) + ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) |
33 |
19
|
negeqd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → - ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = - ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
34 |
|
mulneg1 |
⊢ ( ( i ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = - ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) |
35 |
9 8 34
|
sylancr |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = - ( i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) |
36 |
|
mulneg2 |
⊢ ( ( ( i · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) = - ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
37 |
16 3 36
|
sylancr |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) = - ( ( i · ( 2 · π ) ) · 𝐾 ) ) |
38 |
33 35 37
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) |
39 |
38
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) = ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) |
40 |
39
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( - i · 𝐴 ) + ( - i · ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( - i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) ) |
41 |
32 40
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( - i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) ) |
42 |
41
|
fveq2d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( ( - i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) ) ) |
43 |
|
mulcl |
⊢ ( ( - i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ) → ( - i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
44 |
29 43
|
mpan |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℂ → ( - i · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
45 |
|
znegcl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → - 𝐾 ∈ ℤ ) |
46 |
|
efper |
⊢ ( ( ( - i · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ - 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( - i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) ) = ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) |
47 |
44 45 46
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( ( - i · 𝐴 ) + ( ( i · ( 2 · π ) ) · - 𝐾 ) ) ) = ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) |
48 |
42 47
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( exp ‘ ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) = ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) |
49 |
28 48
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) ) |
50 |
49
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) ) / 𝐷 ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) / 𝐷 ) ) |
51 |
|
addcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ∈ ℂ ) → ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℂ ) |
52 |
8 51
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ∈ ℂ ) |
53 |
52 2
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( ( ( exp ‘ ( i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) ) ) / 𝐷 ) ) |
54 |
1
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) = ( ( ( exp ‘ ( i · 𝐴 ) ) 𝑂 ( exp ‘ ( - i · 𝐴 ) ) ) / 𝐷 ) ) |
55 |
50 53 54
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐴 + ( 𝐾 · ( 2 · π ) ) ) ) = ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ) |