Theorem smadiadetlem3

Description: Lemma 3 for smadiadet . (Contributed by AV, 31-Jan-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	marep01ma.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
	marep01ma.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
	marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
	marep01ma.0	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
	marep01ma.1	⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 )
	smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
	smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
	madetminlem.y	⊢ 𝑌 = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
	madetminlem.s	⊢ 𝑆 = ( pmSgn ‘ 𝑁 )
	madetminlem.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
	smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
	smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = ( pmSgn ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) )
Assertion	smadiadetlem3	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marep01ma.a	⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 )
2		marep01ma.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 )
3		marep01ma.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
4		marep01ma.0	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 )
5		marep01ma.1	⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑅 )
6		smadiadetlem.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ 𝑁 ) )
7		smadiadetlem.g	⊢ 𝐺 = ( mulGrp ‘ 𝑅 )
8		madetminlem.y	⊢ 𝑌 = ( ℤRHom ‘ 𝑅 )
9		madetminlem.s	⊢ 𝑆 = ( pmSgn ‘ 𝑁 )
10		madetminlem.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
11		smadiadetlem.w	⊢ 𝑊 = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
12		smadiadetlem.z	⊢ 𝑍 = ( pmSgn ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) )
13		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
14		eqid	⊢ ( Cntz ‘ 𝑅 ) = ( Cntz ‘ 𝑅 )
15		crngring	⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring )
16		ringmnd	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd )
17	3 15 16	mp2b	⊢ 𝑅 ∈ Mnd
18	17	a1i	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → 𝑅 ∈ Mnd )
19		fvexd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ∈ V )
20	11 19	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → 𝑊 ∈ V )
21	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	smadiadetlem3lem1	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) : 𝑊 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) )
22	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	smadiadetlem3lem2	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ran ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ⊆ ( ( Cntz ‘ 𝑅 ) ‘ ran ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) )
23		eqid	⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
24	1 2	matrcl	⊢ ( 𝑀 ∈ 𝐵 → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V ) )
25	24	simpld	⊢ ( 𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin )
26	25	adantr	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → 𝑁 ∈ Fin )
27		diffi	⊢ ( 𝑁 ∈ Fin → ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ Fin )
28		eqid	⊢ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) = ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) )
29		eqid	⊢ ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) = ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
30	28 29	symgbasfi	⊢ ( ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ∈ Fin → ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ∈ Fin )
31	26 27 30	3syl	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( Base ‘ ( SymGrp ‘ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ∈ Fin )
32	11 31	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → 𝑊 ∈ Fin )
33		ovexd	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑊 ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ∈ V )
34	4	fvexi	⊢ 0 ∈ V
35	34	a1i	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → 0 ∈ V )
36	23 32 33 35	fsuppmptdm	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) finSupp 0 )
37		fveq1	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = ( 𝑝 ‘ 𝐾 ) )
38	37	eqeq1d	⊢ ( 𝑞 = 𝑝 → ( ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 ↔ ( 𝑝 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 ) )
39	38	cbvrabv	⊢ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } = { 𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑝 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 }
40		eqid	⊢ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) = ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) )
41	6 39 11 40	symgfixf1o	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) : { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } –1-1-onto→ 𝑊 )
42	25 41	sylan	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) : { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } –1-1-onto→ 𝑊 )
43	13 4 14 18 20 21 22 36 42	gsumzf1o	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ) ) )
44		eqid	⊢ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } = { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 }
45		eqid	⊢ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) = ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } )
46	6 44 11 45	symgfixelsi	⊢ ( ( 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ) → ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ∈ 𝑊 )
47	46	adantll	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ) → ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ∈ 𝑊 )
48		eqidd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) = ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) )
49		fveq2	⊢ ( 𝑝 = 𝑦 → ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) = ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) )
50		fveq1	⊢ ( 𝑝 = 𝑦 → ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) )
51	50	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = 𝑦 → ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) )
52	51	mpteq2dv	⊢ ( 𝑝 = 𝑦 → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) )
53	52	oveq2d	⊢ ( 𝑝 = 𝑦 → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
54	49 53	oveq12d	⊢ ( 𝑝 = 𝑦 → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
55	54	cbvmptv	⊢ ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
56	55	a1i	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑦 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) )
57		fveq2	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) = ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) )
58		fveq1	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) = ( ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ‘ 𝑛 ) )
59		fvres	⊢ ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) → ( ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) )
60	58 59	sylan9eq	⊢ ( ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) = ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) )
61	60	oveq2d	⊢ ( ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ∧ 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) = ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) )
62	61	mpteq2dva	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) = ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) )
63	62	oveq2d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) ) = ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) )
64	57 63	oveq12d	⊢ ( 𝑦 = ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑦 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑦 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
65	47 48 56 64	fmptco	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) )
66	6 9 12	copsgndif	⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } → ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) = ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ) )
67	25 66	sylan	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } → ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) = ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ) )
68	67	imp	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ) → ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) = ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) )
69	68	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ) → ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) )
70	69	mpteq2dva	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) )
71	65 70	eqtrd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ) = ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) )
72	71	oveq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ∘ ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( 𝑝 ↾ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) )
73	43 72	eqtr2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ) → ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ { 𝑞 ∈ 𝑃 ∣ ( 𝑞 ‘ 𝐾 ) = 𝐾 } ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑆 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) = ( 𝑅 Σg ( 𝑝 ∈ 𝑊 ↦ ( ( ( 𝑌 ∘ 𝑍 ) ‘ 𝑝 ) ( .r ‘ 𝑅 ) ( 𝐺 Σg ( 𝑛 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑛 ( 𝑖 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) , 𝑗 ∈ ( 𝑁 ∖ { 𝐾 } ) ↦ ( 𝑖 𝑀 𝑗 ) ) ( 𝑝 ‘ 𝑛 ) ) ) ) ) ) ) )