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## Theorem strlem1

Description: Lemma for strong state theorem: if closed subspace A is not contained in B , there is a unit vector u in their difference. (Contributed by NM, 25-Oct-1999) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses strlem1.1 𝐴C
strlem1.2 𝐵C
Assertion strlem1 ( ¬ 𝐴𝐵 → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ( norm𝑢 ) = 1 )

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 strlem1.1 𝐴C
2 strlem1.2 𝐵C
3 neq0 ( ¬ ( 𝐴𝐵 ) = ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) )
4 ssdif0 ( 𝐴𝐵 ↔ ( 𝐴𝐵 ) = ∅ )
5 3 4 xchnxbir ( ¬ 𝐴𝐵 ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) )
6 eldifi ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → 𝑥𝐴 )
7 1 cheli ( 𝑥𝐴𝑥 ∈ ℋ )
8 normcl ( 𝑥 ∈ ℋ → ( norm𝑥 ) ∈ ℝ )
9 6 7 8 3syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( norm𝑥 ) ∈ ℝ )
10 ch0 ( 𝐵C → 0𝐵 )
11 2 10 ax-mp 0𝐵
12 eldifn ( 0 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ¬ 0𝐵 )
13 11 12 mt2 ¬ 0 ∈ ( 𝐴𝐵 )
14 eleq1 ( 𝑥 = 0 → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ↔ 0 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ) )
15 13 14 mtbiri ( 𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) )
16 15 con2i ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ¬ 𝑥 = 0 )
17 norm-i ( 𝑥 ∈ ℋ → ( ( norm𝑥 ) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) )
18 6 7 17 3syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( norm𝑥 ) = 0 ↔ 𝑥 = 0 ) )
19 16 18 mtbird ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ¬ ( norm𝑥 ) = 0 )
20 19 neqned ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( norm𝑥 ) ≠ 0 )
21 9 20 rereccld ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℝ )
22 21 recnd ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℂ )
23 1 chshii 𝐴S
24 shmulcl ( ( 𝐴S ∧ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴 ) → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
25 23 24 mp3an1 ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑥𝐴 ) → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐴 )
26 25 ex ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℂ → ( 𝑥𝐴 → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) )
27 22 26 syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( 𝑥𝐴 → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐴 ) )
28 9 recnd ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( norm𝑥 ) ∈ ℂ )
29 2 chshii 𝐵S
30 shmulcl ( ( 𝐵S ∧ ( norm𝑥 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 )
31 29 30 mp3an1 ( ( ( norm𝑥 ) ∈ ℂ ∧ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) → ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 )
32 31 ex ( ( norm𝑥 ) ∈ ℂ → ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 → ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ) )
33 28 32 syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 → ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) ∈ 𝐵 ) )
34 28 20 recidd ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( norm𝑥 ) · ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) = 1 )
35 34 oveq1d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( ( norm𝑥 ) · ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) · 𝑥 ) = ( 1 · 𝑥 ) )
36 6 7 syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → 𝑥 ∈ ℋ )
37 ax-hvmulass ( ( ( norm𝑥 ) ∈ ℂ ∧ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( ( ( norm𝑥 ) · ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) · 𝑥 ) = ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) )
38 28 22 36 37 syl3anc ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( ( norm𝑥 ) · ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) · 𝑥 ) = ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) )
39 ax-hvmulid ( 𝑥 ∈ ℋ → ( 1 · 𝑥 ) = 𝑥 )
40 6 7 39 3syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( 1 · 𝑥 ) = 𝑥 )
41 35 38 40 3eqtr3d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) = 𝑥 )
42 41 eleq1d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( ( norm𝑥 ) · ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) ∈ 𝐵𝑥𝐵 ) )
43 33 42 sylibd ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵𝑥𝐵 ) )
44 43 con3d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ¬ 𝑥𝐵 → ¬ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) )
45 27 44 anim12d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( 𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵 ) → ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) ) )
46 eldif ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ↔ ( 𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝑥𝐵 ) )
47 eldif ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ ( 𝐴𝐵 ) ↔ ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ 𝐵 ) )
48 45 46 47 3imtr4g ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ ( 𝐴𝐵 ) ) )
49 48 pm2.43i ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ ( 𝐴𝐵 ) )
50 norm-iii ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ) → ( norm ‘ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) · ( norm𝑥 ) ) )
51 22 36 50 syl2anc ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( norm ‘ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) = ( ( abs ‘ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) · ( norm𝑥 ) ) )
52 15 necon2ai ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → 𝑥 ≠ 0 )
53 normgt0 ( 𝑥 ∈ ℋ → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < ( norm𝑥 ) ) )
54 6 7 53 3syl ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( 𝑥 ≠ 0 ↔ 0 < ( norm𝑥 ) ) )
55 52 54 mpbid ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → 0 < ( norm𝑥 ) )
56 1re 1 ∈ ℝ
57 0le1 0 ≤ 1
58 divge0 ( ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ) ∧ ( ( norm𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( norm𝑥 ) ) ) → 0 ≤ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) )
59 56 57 58 mpanl12 ( ( ( norm𝑥 ) ∈ ℝ ∧ 0 < ( norm𝑥 ) ) → 0 ≤ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) )
60 9 55 59 syl2anc ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → 0 ≤ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) )
61 21 60 absidd ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( abs ‘ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) = ( 1 / ( norm𝑥 ) ) )
62 61 oveq1d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( abs ‘ ( 1 / ( norm𝑥 ) ) ) · ( norm𝑥 ) ) = ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · ( norm𝑥 ) ) )
63 28 20 recid2d ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · ( norm𝑥 ) ) = 1 )
64 51 62 63 3eqtrd ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ( norm ‘ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) = 1 )
65 fveqeq2 ( 𝑢 = ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) → ( ( norm𝑢 ) = 1 ↔ ( norm ‘ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) = 1 ) )
66 65 rspcev ( ( ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ∈ ( 𝐴𝐵 ) ∧ ( norm ‘ ( ( 1 / ( norm𝑥 ) ) · 𝑥 ) ) = 1 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ( norm𝑢 ) = 1 )
67 49 64 66 syl2anc ( 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ( norm𝑢 ) = 1 )
68 67 exlimiv ( ∃ 𝑥 𝑥 ∈ ( 𝐴𝐵 ) → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ( norm𝑢 ) = 1 )
69 5 68 sylbi ( ¬ 𝐴𝐵 → ∃ 𝑢 ∈ ( 𝐴𝐵 ) ( norm𝑢 ) = 1 )